BZOJ 3512: DZY Loves Math IV

这是一个悲伤的故事，我之前递归求\(S(n,m)\)的时候忘记给记忆化数组赋值了，然后就跑得很慢（废话）

然后我一直以为自己的杜教筛写的太辣鸡了，分解质因数太辣鸡了，白调了2h……（自闭ing）

总的来说这题确实是妙，又教会我一个常用（？）套路的说。

首先我们注意到\(n\)范围不大，因此我们考虑枚举\(n\)，然后设一个\(S(n,m)=\sum_{i=1}^m \phi(ni)\)，考虑到\(\phi\)的性质，我们可以把\(n\)的一些重复的质因数拿出来，形式化的：

若\(n=\prod_{i} p_i^{a_i}\)，那么\(\phi(n)=\phi(\prod_i p_i)\times \prod_i p_i^{a_i-1}\)，那么我们令\(w=\prod_i p_i,y=\prod_i p_i^{a_i-1}\)，则：

\[S(n,m)=y\times \sum_{i=1}^m \phi(wi)\\=y\times \sum_{i=1}^m \phi(\frac{w}{\gcd(w,i)})\times \phi(i)\times \gcd(i,w)\\=y\times \sum_{i=1}^m \phi(\frac{w}{\gcd(w,i)})\times \phi(i)\times \sum_{d|gcd(w,i)}\phi(d)\\=y\times \sum_{i=1}^m \phi(i)\times \sum_{d|gcd(w,i)}\phi(\frac{wd}{\gcd(w,i)})\\=y\times \sum_{i=1}^m \phi(i)\times \sum_{d|gcd(w,i)}\phi(\frac{w}{d})\\=y\times \sum_{i=1}^m \phi(i)\times \sum_{d|w,d|i}\phi(\frac{w}{d})\\=y\times \sum_{d|w} \phi(\frac{w}{d})\times \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\phi(di)\\=y\times \sum_{d|w} \phi(\frac{w}{d})\times S(d,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor) \]

中间的代换有一步很妙，运用\(n=\sum_{d|n} \phi(d)\)进行变换，把\(\gcd\)给去掉了，看来这个技巧和\(\mu\)去\(\gcd\)都要掌握啊

然后我们得到了一个递归式，当\(n=1\)时\(S(n,m)=\sum_{i=1}^m \phi(i)\)，用杜教筛筛出来即可，同时我们将\(S(n,m)\)也记忆化，来算一下复杂度

首先杜教筛的复杂度是\(O(m^{\frac{2}{3}})\)，并且是针对全局的，然后每一个\(S(n,m)\)枚举分解\(n\)的复杂度是\(O(\sqrt n)\)的，然后每一个\(n\)的对应的\(m\)的取值只用\(\sqrt m\)种，因此总复杂度是\(O(n(\sqrt n+\sqrt m)+m^{\frac{2}{3}})\)

PS：以下的代码用了优化的不用map的杜教筛，比起map还是快了不少

#include<cstdio>
#include<map>
#include<cmath>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=100005,M=1e6,mod=1e9+7;
int n,m,sum_phi[M+5],Phi[M+5],phi[M+5],prime[M+5],cnt,ans,d,id1[M+5],id2[M+5],idx;
bool vis[M+5]; map <int,int> s[N];
inline void inc(int &x,CI y)
{
    if ((x+=y)>=mod) x-=mod;
}
inline void dec(int& x,CI y)
{
    if ((x-=y)<0) x+=mod;
}
#define P(x) prime[x]
inline void init(CI n)
{
    RI i,j; for (phi[1]=vis[1]=1,i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for (j=1;j<=cnt&&i*P(j)<=n;++j)
        {
            vis[i*P(j)]=1; if (i%P(j)) phi[i*P(j)]=1LL*phi[i]*(P(j)-1)%mod;
            else phi[i*P(j)]=1LL*phi[i]*P(j)%mod;
        }
    }
    for (i=1;i<=n;++i) sum_phi[i]=sum_phi[i-1],inc(sum_phi[i],phi[i]);
}
#define ID(x) (x<=d?id1[x]:id2[m/x])
inline int get_phi(CI x)
{
    if (x<=M) return sum_phi[x]; if (Phi[ID(x)]) return Phi[ID(x)];
    int ret=(1LL*x*(x+1)/2LL)%mod; for (RI l=2,r;l<=x;l=r+1)
    r=x/(x/l),dec(ret,1LL*(r-l+1)*get_phi(x/l)%mod); return Phi[ID(x)]=ret;
}
#undef ID
inline int S(int n,CI m)
{
    if (n==1) return get_phi(m); if (m==1) return phi[n]; if (!m) return 0;
    if (s[n].count(m)) return s[n][m]; RI i; int w=1,y=1,ret=0,t=n;
    for (i=1;i<=cnt&&P(i)*P(i)<=n;++i) if (n%P(i)==0)
    for (w*=P(i),n/=P(i);n%P(i)==0;y*=P(i),n/=P(i));
    if (n>1) w*=n; for (i=1;i*i<=w;++i) if (w%i==0)
    {
        inc(ret,1LL*phi[w/i]*S(i,m/i)%mod);
        if (i*i!=w) inc(ret,1LL*phi[i]*S(w/i,m/(w/i))%mod);
    }
    return s[t][m]=1LL*y*ret%mod;
}
#undef P 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m); init(M); d=sqrt(m); for (RI l=1,r;l<=m;l=r+1)
    r=m/(m/l),(m/l<=d)?id1[m/l]=++idx:id2[r]=++idx;
    for (RI i=1;i<=n;++i) inc(ans,S(i,m)); return printf("%d",ans),0;
}