BZOJ 2159: Crash 的文明世界

记得去年暑假集训的时候本来想了一个动态点分的做法的，然后写道一半因为某些不知名原因就没写了，然后就一直放着，然后发现斯特林反演真NM好写

首先考虑用关于幂的斯特林反演：

\[m^n=\sum_{i=0}^m \left\{ ^n_i\right\}\times i!\times C_m^i \]

套上去就是：

\[ans(x)=\sum_{i=1}^n dis(i,x)^k \]

\[=\sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^k \left\{ ^k_j\right\}\times C_{dis(i,x)}^j\times j! \]

\[=\sum_{j=0}^k \left\{ ^k_j\right\}\times j!\times \sum_{i=1}^n C_{dis(i,x)}^j \]

显然我们现在只要知道\(\sum_{i=1}^n C_{dis(i,x)}^j\)怎么求即可，设：

\[dn_{x,i}=\sum_{y\in x} C_{dis(x,y)}^i \]

\[up_{x,i}=\sum_{y\not \in x} C_{dis(x,y)}^i \]

其中\(y\in x\)表示\(y\)在\(x\)子树内

显然我们可以推出关于\(dn\)的方程：

\[dn_{x,i}=\sum_{y\in x} C_{dis(x,y)}^i \]

\[=[i=0]+\sum_{v\in son(x)}\sum_{y\in v} C_{dis(v,y)+1}^i \]

\[=[i=0]+\sum_{v\in son(x)}\sum_{y\in v} C_{dis(v,y)}^i+C_{dis(v,y)}^{i-1} \]

\[=[i=0]+\sum_{v\in son(x)} dn_{v,i}+dn_{v,i-1} \]

那么接下来就是\(up\)的，如果熟悉换根DP那一套的话会很容易推出来，注意要容斥掉一部分：

\[up_{x,i}=\sum_{y\not \in x} C_{dis(x,y)}^i \]

\[=\sum_{y\not \in fa(x)} C_{dis(fa(x),y)+1}^i+\sum_{y\in fa(x)} C_{dis(fa(x),y)+1}^i-\sum_{y\in x} C_{dis(x,y)+2}^i \]

\[=up_{fa(x),i}+up_{fa(x),i-1}+dn_{fa(x),i}+dn_{fa(x),i-1}-dn_{x,i}-2\times dn_{x,i-1}-dn_{x,i-2} \]

边界就是\(up_{1,i}=0\)

然后就做完了，复杂度\(O(nk)\)

PS：BZOJ上又要改输入又会莫名挂掉，因此下面的代码是Luogu上的同题的

#include<cstdio>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=500005,M=155,mod=10007;
struct edge
{
	int to,nxt;
}e[N<<1]; int n,head[N],cnt,k,x,y,fact[N],S[M][M],up[N][M],dn[N][M],ans;
inline void addedge(CI x,CI y)
{
	e[++cnt]=(edge){y,head[x]}; head[x]=cnt;
	e[++cnt]=(edge){x,head[y]}; head[y]=cnt;
}
inline int fix(int x)
{
	while (x<0) x+=mod; while (x>=mod) x-=mod; return x;
}
inline void init(CI n)
{
	RI i,j; for (fact[0]=i=1;i<=n;++i) fact[i]=1LL*fact[i-1]*i%mod;
	for (S[0][0]=i=1;i<=n;++i) for (j=0;j<=i;++j)
	S[i][j]=fix((j?S[i-1][j-1]:0)+1LL*j*S[i-1][j]%mod);
}
#define to e[i].to
inline void DFS1(CI now=1,CI fa=0)
{
	dn[now][0]=1; for (RI i=head[now],j;i;i=e[i].nxt) if (to!=fa)
	for (DFS1(to,now),j=0;j<=k;++j) dn[now][j]=fix(dn[now][j]+(j?dn[to][j-1]:0)+dn[to][j]);
}
inline void DFS2(CI now=1,CI fa=0)
{
	RI i; if (now!=1)
	{
		for (i=0;i<=k;++i)
		up[now][i]=fix(up[fa][i]+(i?up[fa][i-1]:0)+dn[fa][i]+(i?dn[fa][i-1]:0)-dn[now][i]-2*(i?dn[now][i-1]:0)-(i>=2?dn[now][i-2]:0));
	}
	for (i=head[now];i;i=e[i].nxt) if (to!=fa) DFS2(to,now);
}
#undef to
int main()
{
	RI i,j; for (scanf("%d%d",&n,&k),i=1;i<n;++i) scanf("%d%d",&x,&y),addedge(x,y);
	for (init(k),DFS1(),DFS2(),i=1;i<=n;++i)
	{
		for (ans=0,j=0;j<=k;++j)
		ans=fix(ans+1LL*fact[j]*S[k][j]%mod*(up[i][j]+dn[i][j])%mod); printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}