浅谈单位根反演

Preface

我发现我现在学一个新算法总是把相关题目做完了才来写233

单位根反演总的来说不是一个非常难的姿势，但是确实解决某些问题的必要前提

它可以在$O(k)$的时间内求一个数列（或是生成函数）所有下标是$k$的倍数的点值和

以下的一些基础姿势例如单位根的性质及求法等以下不再赘述

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Formula

先上单位根反演的公式：

$$[k|n]=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{ni}$$

我们来考虑证明这个公式，分类讨论：

若$k|n$，那么：

$$\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{ni}=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}(\omega_k^n)^i=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^0=1$$

若$k\not| n$，那么根据等比数列求和有：

$$\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{ni}=\frac{1}{k}(\omega_k^0\cdot \frac{\omega_k^0-\omega_k^{kn}}{1-\omega_k^n})$$

由于其分子为$1-1=0$，因此该公式成立

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Others

有些时候我们只知道$k|n$的点值和还不够，比如说我们要知道下标$\mod k=r$的点值和

考虑通过函数的平移来解决问题，如果我们此时将该序列的生成函数乘上$x^{-r}$再套用上面的方法就可以得到答案了

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Example

给几道简单点的例题练练手吧

• LOJ #6485. LJJ 学二项式定理 生成函数+单位根反演 sol
• BZOJ 3328: PYXFIB 生成函数+单位根反演 sol
• UOJ #450. 【集训队作业2018】复读机 生成函数+单位根反演 sol

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Postscript

最近感悟到了生成函数之美，因此最近的做题方向也在想着数学题的方向靠近吧233