信息学竞赛中问题求解题常见考查题型（一）

有n（n≥3）个硬币，其中一个是假币，已知假币的重量比其他的要重一些，你有一架天平。现在要称出哪个假币来。

解析：

首先我们先来考虑最简单的问题1。为了方便叙述，把n个硬币按1,2,…,n顺次编号。

若n=3，把一号硬币放在天平左边、二号硬币放在天平右边。如果天平：

1、左偏，一号重，是假币。

2、右偏，二号重，是假币。

3、保持平衡，那么一、二都是正常的硬币，因此就只有可能三号硬币是假币了。

因此n=3，至多一次就能称出哪个是假币。记作f(3)=1。

下面考虑n=9。把所有的硬币分成三组：A{1,2,3},B{4,5,6},C{7,8,9}。A组的硬币放在左边、B组放在右边。如果天平：

1、左偏，则假币在A组里面。

2、右偏，则假币在B组里面。

3、保持平衡，假币在C组里面。

无论在哪个组里面，我们已经把假币的范围从“9”缩小到了“3”，也就是减少到原来的1/3。之前我们已经研究过，3个硬币1次就能称出来，故而f(9)=2。

不难推广到一般的情况：

定理1.1 f(3n)=n。

证明：n=1,2时，已证。设n=k成立，则f(3k)=k；下面考虑n=k+1的情况。

将3k+1个硬币分成三堆A, B, C，使得|A|=|B|=|C|=3k。把A放在天平左边、B放在右边，天平：

1、左偏，假币在A

2、右偏，假币在B

3、平衡，假币在C

无论哪种结果，我们都把假币的范围缩小到了3k个硬币里面。而f(3k)=k，故而f(3k+1)=k+1。

综上，定理1.1成立。

稍经分析不难得到：

定理1.2 f(n)=[log3 n] 组放到天平上。

这个的证明和定理1.1完全类似，分n mod 3 = 0, 1, 2适当讨论即可。

我们必须注意到[log3 n]是可行的，因为我们能够构造出这样一个方案。问题是它是否最优？

我们采取的方案是每次将硬币尽量均匀的三分，这样做的根据就是天平只有三种结果：左偏、右偏、平衡。于是就能保证无论假币在哪一份都能将结果的范围缩小到原来的1/3。从感性上认识，应该就是最优解了。

为了更加严格的证明其最优性，我们引进判定树的概念。

下图就是n=9时的一种判定树：

此题的判定树是这样一棵树：

1、叶子节点代表一种可能的结果。

2、非叶子节点代表一次称量。

3、非叶子节点至多有三个儿子，分别代表天平的左偏、右偏、平衡三种情况。

任意一种称量方案都能唯一的表示成一棵判定树；反过来一棵判定树也唯一对应一种称量方案。

容易看出判定树的深度就是称量次数。这就是我们之所以引进它的原因。

做出判断之前，谁也无法预知哪个硬币是假币，每个都有可能是我们的目标；因此一个有意义的判定树应该具有至少n个叶子节点。

n个叶子节点的树的深度h ≥[log3 n]，故而可以证明，f(n)=[log3 n]是最优的。

我们的结论是：有n（n≥3）个硬币，其中一个是假币，假币的重量比其他的要重一些。给一架天平，至少称[log3 n]次，就能找出那个假币。

 

具体的方案是将硬币每次都尽量均匀的三分。

让我们总结一下。

“三分”是整个解法的核心。我们选择三分，而不是二分或者四分是有原因的，它的本质是由判定树的特殊结构——三叉树——所决定的。

同时还必须注意一点，我们在三分的时候有两个字很讲究：“均匀”。

实际上h≥[log3 n]中的“=”当且仅当硬币被均匀的分配时才能达到。

这里说的“均匀”是指“在最坏情况下获得最好的效果”。因为一棵树的深度是由它根节点儿子中深度最大的儿子决定的，为了使得整个树深度最小，我们就要务必使得深度最大的儿子深度最小，这就是“均匀”分配的理论根据。