ACM-学习记录-数论
GCD，LCM
定理
a、b两个数的最大公约数乘以它们最小公倍数等于a和b的乘积
axb=GCD(a,b)xLCM(a,b)
据此定理，求3与8的最小公倍数可以为：LCM(3,8)=3x8divGCD(3,8)=24
欧几里得算法
构造关系：GCD(a,b)=GCD(b, a mod b)
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
二进制最大公约数算法
-
递归终止条件：GCD(m,m)=m
-
递归关系式：
m<n时：GCD(m,n)=GCD(n,m)
m为偶数，n为偶数：Gcd(m,n)=2*Gcd(m/2,n/2)
m为偶数，n为奇数：Gcd(m,n)=Gcd(m/2,n)
m为奇数，n为偶数：Gcd(m,n)=Gcd(m,n/2)
m为奇数，n为奇数：Gcd(m,n)=Gcd(n,m-n)
不定方程的整数解
方程ax+by=c有整数解的充要条件：gcd(a,b) | c
设d=gcd(a,b)
则若我们求得一组(x0,y0)满足ax0+by0=d
则可以得到原方程的一组解:((x0Xc)/d, (y0xc)/d)
扩展欧几里得算法
作用
已知a,b,求解一组x,y，使他们满足贝祖等式[^ax+by=gcd(a,b)=d](根据数论原理，解一定存在）。常用在求解模线性方程组中，也可以用来求解乘法逆元。
Int exGcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
if(b==0)
{
x=1;y=0;
return a;
}
int r=exGcd(b,a%b,x,y);
int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
return r;
}
勾股数
勾股数有如下几个性质：
- X,Y,Z一定两两互质
- X,Y一定一奇一偶
- X+Z一定是一个完全平方数
- (Y+Z)/2也是一个完全平方数
- XxYxZ一定能被60整除
应用举例
编程求n个（n≤100）正整数Ai（Ai≤30000，1≤i≤n）的最大公约数和最小公倍数。假设解一定在长整数范围内。
先求出两个数的最大公约数（最小公倍数），再和其他数求最大公约数（最小公倍数），只需调用函数n-1次。可以利用欧几里得算法快速实现：gcd(a1,a2,...,an)=gcd(gcd(a1,a2,...,an-1),an)
阶乘问题
整数n的阶乘n！是从1到n的所有整数的乘积。编程：输入一正整数n（n≤65000），给出n！的值从右至左有多少位连续的零？并输出n！的值从右至左第一个非零位的值。
例如：n=5，则5！的值等于120，从右至左有1位连续的0；从右至左第一个非零的值为2。你的输出：
1
2
当n=11时，程序应该输出：
2
8
分析：
N!的值从右至左连续零的个数，实际上等于n！中所包含的5的因子的总数，这是因为：2x5=10.而n！中包含的2的因子的总数显然比5的因子总数大得多。
在去除了所有从右至左连续的零以后，计算n！的最右非零位数值就可以用以下的公式：
(axb)%10=(a%10)x(b%10)%10
同余
定义
a%m=b%m，则称a，b mod m同余
概念
设a，b为两个整数，且它们的差a-b能被某个自然数m所整除，则就称a就模m来说同余于b，或者说a和b关于模m同余，
记为：a=b （mod m）
它意味着：a-b=mxk（k为整数）
性质
对于整数a,b,c和自然数m,n则对模m同余满足：
-
自反性：a = a（mod m）
-
对成性：若a=b（mod m），则b = a（mod m）
-
传递性：若a=b（mod m），b=c（mod m），则a=c（mod m）
-
同加性：若a=b（mod m），则a+c=b+c（mod m）
-
同乘性：若a=b（mod m），则aXc=bXc
一般情况，a=b（mod m），c=d（mod m），则：aXc=bXd（mod m）
-
同幂性：若a=b（mod m）则an=bn(mod m)
-
若a mod p=x， a mod q=x，p、q互质，则a mod（pXq）=x
但是同余不满足同除性，即：a/n != b/n(mod m)
素数
素数的几个定理
唯一分解定理
若整数a>=2,那么a一定可以表示为若干个素数的乘积（唯一的形式），即a=p1xp2xp3x...ps(其中pj为素数，称为a的素因子，1<=j<=s)
