6 背包问题基础
01背包理论基础
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
二维数组：
(1)确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
(2)确定递推公式
再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
(3)dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
再看其他情况，状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
此时dp数组初始化情况如图所示：
dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。
(4)确定遍历顺序
在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量，因为dp[i][j]是由左边和上方的数值推导出来的，所以先遍历哪个都可以。
(5)举例推导dp数组
public class BagProblem {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {1,3,4};
int[] value = {15,20,30};
int bagSize = 4;
testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
}
/**
* 动态规划获得结果
* @param weight 物品的重量
* @param value 物品的价值
* @param bagSize 背包的容量
*/
public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){
// 创建dp数组
int goods = weight.length; // 获取物品的数量
int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];
// 初始化dp数组
// 创建数组后，其中默认的值就是0
for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
// 填充dp数组
for (int i = 1; i < weight.length; i++) {
for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
if (j < weight[i]) {
/**
* 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的
* 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值
*/
dp[i][j] = dp[i-1][j];
} else {
/**
* 当前背包的容量可以放下物品i
* 那么此时分两种情况：
* 1、不放物品i
* 2、放物品i
* 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大
*/
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
}
}
}
// 打印dp数组
for (int i = 0; i < goods; i++) {
for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
System.out.print(dp[i][j] + "\t");
}
System.out.println("\n");
}
}
}
滚动数组：
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
（1）确定dp数组的定义
在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
（2）一维dp数组的递推公式
dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？
dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
所以递归公式为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。
（3）一维dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。
（4）一维dp数组遍历顺序
这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！
一维dp遍历的时候，背包是从大到小。
倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
（）
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
倒序就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢？
因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！
再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？
不可以！
因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历，如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。
倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。
（5）举例推导dp数组
void test_1_wei_bag_problem() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 初始化
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_1_wei_bag_problem();
}
