力扣704 二分查找

二分查找概述：

　　Binary Search，也叫折半查找。折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。

二分查找原理：

　　首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

人话：

　　将要查找的元素一分为二，比较查找元素和中间值的大小，比中间值小往前走，比中间值大往后走，一直重复执行这个过程，直至查找到或找不到。

        1. 设置查找区间：low = 0；high= n；
        2. 若查找区间[low, high]不存在，则查找失败；否则转步骤3
        3. 取中间位mid = (low + high) / 2；比较 target 与 arr[mid]，有以下三种情况：
                3.1 若 target < arr[mid]，则high = mid - 1；查找在左半区间进行，转步骤2；
                3.2 若 target > arr[mid]，则low = mid + 1；查找在右半区间进行，转步骤2；
                3.3 若 target = arr[mid]，则查找成功，返回 mid 值

二分查找实例：

以有序数组1到10数字为例：

查找元素为9

(1) low=0,high=9,middle=(0+9)/2=4, 9>arr[4]--->往右找

(2) low=4+1=5,high=9,middle=(5+9)/2=7, 9>arr[7]--->往右找

(3) low=7+1=8,high=9.middle=(8+9)/2=8, 9=arr[8]--->查找成功

0				4					9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
low				middle					high

					5		7		9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
					low		middle		high

								8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
								low middle	high

查找元素为11

(1) low=0,high=9,middle=(0+9)/2=4, 11>arr[4]--->往右找

(2) low=4+1=5,high=9,middle=(5+9)/2=7, 11>arr[7]--->往右找

(3) low=7+1=8,high=9,middle=(8+9)/2=8, 11>arr[8]--->往右找

(4) low=8+1=9,high=9,middle=(9+9)/2=9, 11>arr[9]--->往右找

(5) low=9+1=10,high=9,low>high--->查找失败

二分查找代码：

Java版

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int low=0,high=nums.length-1,middle=0;
        while(low<=high){
            middle=(low+high)/2;
            if(target<nums[middle]){
                high=middle-1;
            }else if(target>nums[middle]){
                low=middle+1;
            }else{
                return middle;
            }
        }
        return -1;
    }
}

二分查找时间复杂度：

最好时间复杂度是O(1)：
最好情况下只需要进行1次比较就能找到目标元素

最坏时间复杂度是O(log2n)：

　　最坏情况就是查找不到目标元素，所需的时间复杂度可借助该序列的二叉树(二分查找判定树)形式进行分析：

　　序列[5, 10, 22, 29, 43, 57, 58, 61, 73, 77, 81]可以构建成下图所示的二叉树

　　1+2+4+...+2^k=n--->k= $\left \lfloor log_{2}n \right \rfloor+1$

　　具有n个结点的二分查找树的深度为 $\left \lfloor log_{2}n \right \rfloor+1$ ，因此，查找成功时，所进行的关键码比较次数至多为。而查找失败时和目标元素进行比较的次数最多也不超过树的深度，因此最坏时间复杂度时。
平均时间复杂度是O(log2n)：
由二分查找的平均查找长度可知：

$ASL = \sum_{i = 1}^{n}p_{i}c_{i}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k}j\times 2^{j-1}=\frac{1}{n}\(1\times 2^{0}+2\times 2^{1}+...+k\times 2^{k-1})$