【总结】LCA的4种求法

前言

LCA的求法有多重多样,总结下来是下面这4种.希望大家可以加油!

暴力求LCA

我们考虑dfs求出每一个点的父亲(在当前根下),然后直接先暴力跳到同一个深度,再同时跳

void dfs(int u,int f){
    fa[u]=f;dep[u]=dep[f]+1;
    for(re int i=front[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==f)continue;
		dfs(v,u);
    }
}
int lca(int u,int v){
    if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
    while(dep[u]!=dep[v])u=fa[u];
    while(u!=v)u=fa[u],v=fa[v];
    return u;
}

倍增求LCA

我们考虑每一次跳1个父亲的速度太慢,那么怎么优化呢?

这个时候就需要用到倍增这种思想了.

没有学过倍增的同学可以先写一下ST表,可能会对倍增有比较深刻的理解.

我们假设这样子一个变量\(f[i][j]\)表示点\(i\)的第\(2^j\)个父亲是哪个节点.

因为每一个数都可以二进制表示,所以我们考虑每一次从大到小枚举跳的东西,然后就可以做到\(\Theta(n\ log(n))\)

void dfs(int u,int fa){
	dep[u]=dep[fa]+1;
	for(re int i=front[u];i;i=nxt[i]){
		int v=to[i];
		if(v!=fa)dfs(v,u),f[0][v]=u;
	}
}
int lca(int a,int b){
	if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);
	for(re int i=20;~i;i--)
		if(dep[a]-(1<<i)>=dep[b])
			a=f[i][a];
	if(a==b)return a;
	for(re int i=20;~i;i--)
		if(f[i][a]!=f[i][b])
			a=f[i][a],b=f[i][b];
	return f[0][a];
}

树链剖分求LCA

考虑把一个树分成轻链与重链,然后直接跳链就好了.

void dfs1(int u,int f){
    fa[u]=f;siz[u]=1;dep[u]=dep[f]+1;
    for(re int i=front[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa[u])continue;
        dfs1(v,u);
        siz[u]+=siz[v];
        if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
    }
}
void dfs2(int u,int tp){
    top[u]=tp;
    if(!son[u])return;
    dfs2(son[u],tp);
    for(re int i=front[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa[u] || v==son[u])continue;
        dfs2(v,v);
    }
}
void swap(int &a,int &b){
    int tmp=a;a=b;b=tmp;
}
int lca(int u,int v){
    while(top[u]!=top[v]){
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
        u=fa[top[u]];
    }
    return dep[u]>dep[v]?v:u;
}

Tarjan求LCA

考虑把每一个询问当做一条边处理,那么如果这两个都被访问了,显然另一个点的祖先一定是他们的LCA.

所以可以很容易地写出这一段代码.(注意最后合并)

int find(int x){
	if(f[x]!=x)f[x]=find(f[x]);
	return f[x];
}
void Add(int u,int v){
	to[++cnt]=v;nxt[cnt]=front[u];
	front[u]=cnt;
}
void Addques(int u,int v,int Id){
	toq[++cnt]=v;
	id[cnt]=Id;nxtq[cnt]=frontq[u];
	frontq[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int fa){
	b[u]=1;
	for(int i=front[u];i;i=nxt[i]){
		int v=to[i];
		if(v!=fa){
			dfs(v,u);
			for(int j=frontq[v];j;j=nxtq[j]){
				int vv=toq[j];
				if(b[vv])ans[id[j]]=find(vv);
			}
			int uu=find(u),vv=find(v);
			if(uu!=vv)f[vv]=uu;
		}
	}
}