[HAOI2015]按位或

description

洛谷
刚开始你有一个数字\(0\)，
每一秒钟你会随机选择一个\([0,2^n-1]\)的数字，与你手上的数字进行或操作。
选择数字\(i\)的概率是\(p_i\)。保证\(0\le p_i\le 1，\sum p_i=1\)
问期望多少秒后，你手上的数字变成\(2^n-1\)。

data range

\[n\le 20 \]

solution

之前一直在想分治怎么做
发现根本递推不了
于是\(gg\)

考虑\(Min-max\)容斥。
我们知道最终答案\(Ans=E(max_{i=1}^{n}f_i)\),其中\(f_i\)表示第\(i\)位变成\(1\)的次数

由\(Min-max\)容斥,我们知道

\[\max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\times \min\{T\} \]

令\(S=\{f_i\}\)那么

\[E(\max\{S\})=E(\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\times \min\{T\})=\max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\times E(\min\{T\}) \]

现在的问题变为如何求\(E(\min\{T\})\)
只要\(T\)中有一位被或上即可,因此

\[E(\min\{T\})=\frac{1}{\sum_{i\cup T\not=\varnothing}p_i} \]

而\(\sum_{i\cup T\not=\varnothing}p_i=1-\sum_{i\subseteq \overline{T}}p_i\)

于是直接\(FWT\)或高维前缀和即可

Code

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define Cpy(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
#define Set(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define FILE "a"
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const int N=1<<20;
const int M=1e7+10;
const int mod=1e9+7;
const int base=26;
const dd eps=1e-6;
const int inf=2147483647;
const ll INF=1ll<<60;
const ll P=100000;
il ll read(){
  RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
  while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
  if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
  while(ch<='9'&&ch>='0')data=data*10+ch-48,ch=getchar();
  return data*w;
}

il void file(){
  srand(time(NULL)+rand());
  freopen(FILE".in","r",stdin);
  freopen(FILE".out","w",stdout);
}

il int count(int x){int r=0;while(x)x&=(x-1),r++;return r;}
int n,m;dd p[N],ans;
int main()
{
  m=read();n=(1<<m);
  for(RG int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
  for(RG int i=1;i<n;i<<=1)
    for(RG int j=0,l=i<<1;j<n;j+=l)
      for(RG int k=0;k<i;k++)
	p[i+j+k]+=p[j+k];
  for(RG int i=0;i<n;i++)p[i]=1/(1-p[i]);
  for(RG int i=0;i<n-1;i++)count(n-i-1)&1?ans+=p[i]:ans-=p[i];
  if(ans>INF)return puts("INF"),0;printf("%.10lf\n",ans);return 0;
}