[HDU4336]Card Collector
题面在这里
题意
你要集齐\(n\)张卡,第\(i\)张卡抽到的概率为\(p_i\)SSR,求集齐\(n\)张卡期望的抽卡次数
数据范围
\[1\le n\le 20,\sum_{i=1}^{n}p_i\le 1
\]
sol
首先在此郑重声明本人不玩阴阳师和LL
朴素的状压DP即可解决此题;
使用一个20位的01向量记录每张卡是否抽到的期望次数,
由于单独考虑每张卡被抽到的期望次数是\(\frac{1}{p}\),
所以可以\(O(n)\)转移,时间复杂度为\(O(n2^n)\)
然而这里要讲的并不只有这个东西
Maximum-minimums 恒等式 和 Min-Max容斥
部分公式和文字摘自Wiki百科
Maximum-minimums 恒等式为
\[max\{x_1,x_2,...,x_n\}=\sum_{i=1}^{n}x_i-\sum_{i<j}min\{x_i,x_j\}
\]
\[+\sum_{i<j<k}min\{x_i,x_j,x_k\}+...+(-1)^{n+1}min\{x_1,x_2,...,x_n\}\ (1)
\]
and
\[min\{x_1,x_2,...,x_n\}=\sum_{i=1}^{n}x_i-\sum_{i<j}max\{x_i,x_j\}
\]
\[+\sum_{i<j<k}max\{x_i,x_j,x_k\}+(-1)^{n+1}max\{x_1,x_2,...,x_n\}\ (2)
\]
上式的证明比较简单,在此证明公式\((1)\):
设数组\(\{x_i\}\)排序后为\(\{x_i^*\}\),那么显然方程左右都出现一次\(x_n^*\),
对于\(1\le i<n\),其在右式出现次数为\(\sum_{j=0}^{i}C_i^j=0\)(二项式定理).
推出我们需要的公式之前,首先介绍一个东西...
示性变量:表示事件是否发生的变量,
例如假设事件\(A\)的示性变量为\(x\),如果这个事件发生那么\(x=1\),否则\(x=0\)
设事件\(A_1,A_2,A_3,...,A_n\)的示性变量分别为\(x_1,x_2,x_3,...,x_n\),
那么根据公式\((1)\)有
\[max\{x_1,x_2,...,x_n\}=\sum_{i=1}^{n}x_i-\sum_{i<j}max\{x_i,x_j\}
\]
\[+\sum_{i<j<k}max\{x_i,x_j,x_k\}+...+(-1)^{n+1}max\{x_1,x_2,...,x_n\}
\]
\[\therefore 1-\prod_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}x_i-\sum_{i<j}x_ix_j+\sum_{i<j<k}{x_ix_jx_k}+...+(-1)^{n+1}\prod_{i=1}^{n}x_i
\]
(到之后证明就萎了,如有大神能更好地证明欢迎指出)
由于等号两边的事件本质上是相同的,
\[\therefore E(1-\prod_{i=1}^{n}x_i)=E(\sum_{i=1}^{n}x_i-\sum_{i<j}x_ix_j+\sum_{i<j<k}{x_ix_jx_k}+...+(-1)^{n+1}\prod_{i=1}^{n}x_i)
\]
那么
\[E(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)=\sum_{i=1}^{n}E(A_i)-\sum_{i<j}E(A_i\cap A_j)+\sum_{i<j<k}{E(A_i\cap A_j\cap A_k)}+...
\]
\[+(-1)^{n+1}\prod_{i=1}^{n}E(\bigcap_{i=1}^{n}x_i)
\]
代码
#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define mp make_pair
#define pub push_back
#define puf push_front
#define pob pop_back
#define pof pop_front
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const dd eps=1e-10;
const int mod=1e8;
const int N=1000010;
il ll read(){
RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')data=data*10+ch-48,ch=getchar();
return data*w;
}
il void file(){
freopen(".in","r",stdin);
freopen(".out","w",stdout);
}
int n;
dd p[N],ans;
void dfs(int x,dd k,dd ret){
//printf("dfs:%d\n",x);
if(x==n+1){if(ret>eps)ans+=k/ret;return;}
dfs(x+1,k,ret);dfs(x+1,-k,ret+p[x]);
}
int main()
{
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
for(RG int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",p+i);
ans=0;dfs(1,-1,0);printf("%lf\n",ans);
}
return 0;
}
