堆の学习笔记

前言

关于这篇文章其实已经咕了 $6.5$ 个月。。。

现在终于打算动了。

正文

首先堆是什么？

堆是一种数据结构，可以高效地以 $O (\log n)$ 的复杂度维护一个集合的最值。（支持插入任意值、删除最值和查询最值操作）

这种数据结构在一定程度上借助完全二叉树实现，整体的实现思路是将堆抽象成一棵完全二叉树，然后根据完全二叉树的特性巧妙地维护最值。

这里附张图（搬运）：

如果将完全二叉树的节点按上到下的次序标数， $i$ 点的左儿子为 $2 i$ ，右儿子为 $2 i + 1$ 。~~于是我们便可以大搞特搞~~于是可以用一个数组 $d$ 记录完全二叉树的状况， $d_{i}$ 表示 $i$ 点当前的数。

然后为了方便维护最值（这里维护最小值）我们可以给堆加性质：

堆的任意父亲点 $\leq$ 左儿子和右儿子。
堆必须时刻是完全二叉树。

这时最上面的根点一定是整个堆中最小的，我们只要不断维护堆的形态使性质成立，那么就很容易取到最小值。

Del 操作（删除最值）：

最值一定是根点，所以我们只要删掉根点就行了。

假设这是原先的堆：

现在我们删除根点，很显然直接拿掉会让堆乱套，为了维护堆，我们只能把 $2$ 和末尾的点交换一下，之后删除就没有影响了。虽然 $8$ 在根点不符合性质，但是我们可以将 $8$ 向下调整至合适的位置，这样就维护了删除操作。

之后把 $8$ 与左右儿子中小的一个交换（这样交换后才能保证符合性质），一直到已经满足性质，那就可以停止交换了。

给出核心代码（ok 是最后一个点的位置）：

void del(){
	swap(d[1],d[ok]);//交换
	ok--;//删除
	int dq=1;
	while((dq<<1)<=ok){//如果当前点还有儿子
		int nex=dq<<1;
		if(nex+1<=ok&&d[nex+1]<d[nex]) nex++;//此时nex为值小的儿子的编号
		if(d[nex]<d[dq]) swap(d[nex],d[dq]);
		else break;//如果不用交换了直接退出
		dq=nex;
	}
}

ins操作（插入任意值）：

和上面类似，但这次是在最下面建新的点，然后往上调整。图可以自行脑补就不放了。
核心代码：

void ins(int x){
	d[++ok]=x;//新建
	int dq=ok;
	while(dq){
		int fa=dq>>1;//父亲点i（因为儿子是父亲的2i或者2i+1，整除后一定会得到i）
		if(d[fa]>d[dq]) swap(d[fa],d[dq]);
		else break;//如果不用调整了退出
		dq=fa;
	}
}