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摘要： 第五周 T1 设 ${x_n}{n = 1}^\infty$ 为有界实数列，$a = \liminf\limits{n \to \infty} x_n, b = \limsup \limits_{n \to \infty} x_n$，满足 $a < b$ 且 $\limsup \limits_{n 阅读全文

摘要： 第三周 T1 设 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素全为 $1$ 或 $−1$，求证 $\det A$ 被 $2^{n−1}$ 整除。 将 $|A|$ 变换为 $\pm \left|\begin{matrix}1 & * & \cdots & * \ 0 \ \vdots & & A_{n - 1} \ 阅读全文

摘要： 行列式的补行补列技巧 扰动法 对于二阶分块矩阵 $\left[\begin{matrix}A&B \ C&D\end{matrix}\right]$，若 $AC = CA$，则 $\left|\begin{matrix}A&B \ C&D\end{matrix}\right| = |AD-CB|$。 阅读全文

摘要： 设 $\mathbb{F}, A$ 为两个集合，$\forall x \in \mathbb F, \operatorname{card}(f(x)) = \operatorname{card}(A)$，那么有 $\operatorname{card}(\mathbb F \times A) = \ 阅读全文

摘要： 题面 题解 容易发现答案就是 \(\displaystyle [x^{nd}] \left(\sum_{i \geq 0} [d|i] \frac {x^i}{i!}\right)^k\)，对其进行单位根反演就是 \(\displaystyle [x^{nd}] \left(\frac 1d \su 阅读全文

摘要： 前置知识 群，置换，循环，轨道，不动点。 设 \(G\) 为有限群，\(X\) 为一个集合，\(x \in X\)，定义 \(x\) 的轨道为 \[ G_x = \{ gx | g \in G \} \] 定义 \(X\) 的轨道数 \(L = |\{ G_x | x \in X \}|\)，\(X 阅读全文

摘要： 定义 \[ B_n = [n = 0] - \frac 1{n + 1} \sum_{i=0}^{n-1} \binom {n + 1} i B_i \] 同时有 \[ \hat{B}(x) = \sum_{i \geq 0} B_i \frac {x^i} {i!} = \frac x{e^x - 阅读全文

摘要： 题面 组合数没了，怎么说嘛 题解 当 \(r = 0\) 或 \(r = 1\) 时是 trivial 的，下面假设 \(r \neq 0, 1\)。 设 \(S_k(n) = \sum_{i=1}^n i^k r^i\)。 那么有 \[ \begin{aligned} S_k(n) &= \sum 阅读全文

摘要： 题面 题解 分块，考虑用 vector 记下单点和整块被赋值的所有情况，同时对整块实时维护 ans。 Part I. 块的构建/重构 首先按照最后被修改的时间将块内的所有元素排序（注意如果要保证复杂度严格是 \(\mathcal O(n \sqrt n)\) 的话要用基数排序），维护当前的顺序信息， 阅读全文