数分技巧小记

• 设 \(\mathbb{F}, A\) 为两个集合，\(\forall x \in \mathbb F, \operatorname{card}(f(x)) = \operatorname{card}(A)\)，那么有 \(\operatorname{card}(\mathbb F \times A) = \operatorname{card}(\bigcup_{x \in \mathbb F} f(x))\)。

• 对角线技巧

  证明：对于任意集合 \(X\)，都有 \(\operatorname{card}(X) < \operatorname{card}(\mathcal P(X))\)。

  显然 \(\operatorname{card}(X) \leq \operatorname{card}(\mathcal P(X))\)。

  假设 \(\exist f: X \to \mathcal P(X)\) 为满射，那么构造 \(T = \{x | x \notin f(x)\}\)，则 \(T \in \mathcal P(x)\)。

  \(\forall x \in X\)，如果 \(x \in f(x)\) 则 \(x \notin T\)，即 \(f(x) \neq T\)；如果 \(x \notin f(x)\) 则 \(x \in T\)，也有 \(f(x) \neq T\)。

  于是 \(f(X) \neq \mathcal P(X)\)，得证。

• 阿基米德原理的几个表述：

  1. \(\forall \varepsilon > 0, x \in \mathbb R, \exist n \in \mathbb N \ s.t. \ n\varepsilon > x\)
  2. \(\forall \varepsilon > 0, \exist n \in \mathbb N \ s.t. \ 0 < \frac 1n < \varepsilon\)
  3. \(\{\frac 1n\}_{n \in \mathbb N}\) 存在极限点

• 如果两个集合有交集但是需要区分其中的元素，可以再加一维作为指示。

• 实数完备性公理的等价定理互推合集。

• 证明一个数列有极限可以通过证明其上下极限相等进行。

• Abel 求和（分部求和）

  \[\sum_{i = 1}^n a_ib_i = \sum_{i = 1}^{n - 1} \left(\sum_{k = 1}^i a_k\right)(b_{i} - b_{i + 1}) + \left(\sum_{i = 1}^n a_i\right) b_n \]