「学习笔记」欧拉数

定义

记一个排列 \(P\) 的升高为 \(k\) 当且仅当存在 \(k\) 个位置 \(i\) 使得 \(P_i<P_{i+1}\)。

那么定义欧拉数 \(\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle\) 表示长度为 \(n\) 且有 \(k\) 个上升的排列的数量。

递推式

通过讨论 \(n\) 在最左边，最右边还是中间可以得出转移：

\[\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle = (k + 1)\left\langle\begin{matrix}n - 1\\k\end{matrix}\right\rangle + (n - k) \left\langle\begin{matrix}n - 1\\k - 1\end{matrix}\right\rangle \]

计算

高妙的组合意义

考虑计算 \(\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle / n!\) 也就是概率，可以发现，对于 \(n\) 个实数的均匀分布 \((a_1, a_2, \cdots, a_n) \in (0, 1)^n\) 产生和排列 \(P\) 相同的偏序关系的概率是 \(\frac 1{n!}\)，这样我们就可以将问题转化为 \(a_i < a_{i + 1}\) 有 \(k\) 个的概率。

将 \(a\) 进行差分，定义 \(a_0 = 0,\ b_i = (a_i - a_{i - 1}) \bmod 1\)，显然 \(b_i \in (0, 1)\)。

考虑 \(b_i\) 的实际意义，发现当 \(a_{i - 1} < a_i\) 时，\(b_i = a_i - a_{i - 1}\)，否则 \(b_i = 1 + a_i - a_{i - 1}\)，而 \(a_{i - 1} < a_{i}\) 有 \(k + 1\) 个（\(a_0 = 0\)），所以说 \(\sum b_i = n - k - 1 + a_n \in (n - k - 1, n - k)\)。这样，问题就变为了给定 \(n\) 个 \((0, 1)\) 之间的实数 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，求满足 \(\sum x_i \in (n - k - 1, n - k)\) 的概率，可以转化为 \(\sum x_i < n - k\) 的概率然后差分，设其为 \(F(n - k)\)。

使用几何概型，由于样本空间的“体积”是 \(1\)，所以答案就是满足条件的区域的“体积”。

设 \(G(k)\) 表示 \(n\) 个随机变量没有限制的情况下的满足 \(\sum x_i < k\) 的区域的“体积”。

考虑容斥有多少个 \(x_i > 1\)，能够列出式子：

\[F(k) = \sum_{i = 0}^k (-1)^i \binom ni G(k - i) \]

接下来只需要知道如何计算 \(G(k)\) 即可。

将 \(n\) 个变量做前缀和，设为 \(t_i\)，那么只需要满足 \(t_i < t_{i + 1}\) 且 \(t_n < k\) 的条件即可，由最开始的性质，可以将其对应到排列上得出概率为 \(\frac 1 {n!}\)。又因为 \(G(k)\) 是“体积”，所以 \(G(k) = \frac {k^n}{n!}\)，即：

\[F(k) = \frac 1 {n!} \sum_{i=0}^k (-1)^i \binom ni (k - i)^n \]

于是 \(\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle\) 可以做到计算一个 \(\mathcal O(n)\)，计算一行 \(\mathcal O(n \log n)\)。

直接容斥

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设 \(F(n, k)\) 表示长度为 \(n\) 的排列，钦定有 \(k\) 个 < 的方案数。

考虑将 < 看成边，那么排列中将会形成 \(n - k\) 个连通块，而连通块内部必须有序，连通块之间可以任意打乱顺序，所以方案数就是 \((n - k)!\begin{Bmatrix} n\\n - k \end{Bmatrix}\)。

由二项式反演：

\[\begin{aligned} \left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle &= \sum_{i = k}^n (-1)^{i - k} \binom ik (n - i)!\begin{Bmatrix} n\\n - i \end{Bmatrix}\\ &=\sum_{i = k}^n (-1)^{i - k} \binom ik \sum_{j = 0}^{n - i} \binom{n - i} j (-1)^{n - i - j} j^n\\ &=\sum_{j = 0}^{n - k} j^n (-1)^{n - k - j} \sum_{i} \binom ik \binom {n - i}j\\ &= \sum_{j = 0}^{n - k} (-1)^{n - k - j} j^n \binom {n + 1} {k + j + 1} \end{aligned} \]

解释一下最后一步吧，由于 \(\binom ik = [x^{i - k}] \frac 1{(1 - x)^{k + 1}}, \ \binom {n - i}j = [x^{n - i - j}] \frac 1{(1 - x)^{j + 1}}\)，所以 \(\sum_i \binom ik \binom {n - i}j = [x^{n - j - k}] \frac 1 {(1 - x)^{k + j + 2}} = \binom {n + 1}{k + j + 1}\)。

同样可以直接卷积求出一行欧拉数。