[ZJOI2019]开关

题面

题解

设 \(p_i\) 是概率，也就是题目中的 \(\frac {p_i}{\sum p}\)。

设 \(F(x)\) 表示一直按，第 \(n\) 次到达目标状态的概率 EGF，于是：

\[F(x) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{p_ix} + (-1)^{s_i} e^{-p_ix}} 2 \]

设 \(G(x)\) 表示按 \(n\) 次回到初始状态的 EGF，同理有：

\[G(x) = \prod_{i=1}^n \frac {e^{p_ix}+e^{-p_ix}}2 \]

然后设 \(f(x), g(x)\) 分别对应 \(F(x), G(x)\) 的普通型生成函数。

设 \(h(x)\) 表示第一次到达目标状态的概率生成函数，那么 \(hg = f\)，即 \(h = g / f\)，且 \(h'(1)\) 就是所求的答案。

设 \(F(x) = \sum_i a_i e^{ix}\)，那么 \(f(x) = \sum_i \frac {a_i}{1-ix}\)。可以用背包求出 \(F\) 进而求出 \(f\)。

然后计算 \(h = f / g\)，发现 \(f\) 和 \(g\) 中均有 \(1 - x\) 项导致不能直接计算，所以上下同乘 \(1 - x\)。

发现 \(((1 - x) f)(1) = ((1 - x) g)(1) = 1\)，所以通过除法的求导法则，\(h' = ((1 - x) f)' - ((1 - x) g)'\)。

那么最后一个问题就是 \((1 - x) f\) 的导数怎么算，发现 \((\left.\frac {1 - x} {1 - ix})'\right|_{x=1} = \frac 1 {i - 1}\)，可以轻松求得。

代码太久远了就不放了。