长链剖分学习笔记
是什么
树链剖分
与轻重链剖分相似，只不过是按照深度进行剖分的
它的应用与$\text{dsu on tree}$十分相似，能高效合并子树的信息
性质
性质1
所有链长之和为节点数
证明：每个点在且仅在一条链中
性质2
任意一个点$k$级祖先所在长链的长度一定大于等于$k$
假如$y$所在长链的长度小于$k$，那么它所在的链一定不是重链，因为$x−y$这条链显然更优，那么$y$所在的重链长度至少为$k$，性质成立。否则$y$所以在长链长度大于等于$k$，性质成立。
性质3
任意一个点跳重链到根所用的次数不超过$\sqrt n$
根据性质二，如果一个点从当前链跳到另一条链上，另一条链的长度大于当前链的长度
所以最坏情况的链长为$1,2,3,\cdots,\sqrt n$共$\sqrt n$次
