根号分治

根号分治

根号算法——不只是分块。

有时我们会碰到这样一类问题,长度为n的序列,m个询问(通常nm同阶),可能存在两种比较显然的方法,一种是O(n2)预处理O(1)回答,一种是不预处理O(n)回答m个询问,这两种方法都是O(n2)的。考虑是否存在一种策略能“平衡”一下预处理和询问的复杂度。

看一道题:哈希冲突

这是一道论文题,论文的题目就是开头的那句话。先把我们前面提到的两种显然的方法提一下。

第一种n2预处理f[i][j]表示膜i意义下第j个hash池内的答案,直接暴力计算,每次修改也是O(n)的,而且空间复杂度n2

第二种对于每次询问暴力O(n)求,修改O(1)

这两种方法的复杂度都无法承受,考虑优化。我们发现,对于模数小于n的情况,我们按照第一种方法做,预处理O(nn),空间O(n),查询O(1);对于模数大于n的情况,模p的结果为i的hash池中最多只可能有nn=n个数对它产生贡献,于是采用第二种方法,每次查询复杂度O(n),再加上单次修改O(n)。总的复杂度O((n+m)n)

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#include<cstdio> #include<cmath> #define R register using namespace std; const int S=150003,N=403; int a[S],f[N][N]; int main(){ R int n,m,p,x,y,i,j,o; R char e[2]; scanf("%d%d",&n,&m),p=sqrt(n); for(i=1;i<=n;++i){ scanf("%d",&a[i]); for(j=1;j<=p;++j) f[j][i%j]+=a[i]; } for(i=1;i<=m;++i){ scanf("%s%d%d",e,&x,&y); if(e[0]=='A'){ if(x<=p) printf("%d\n",f[x][y]); else{ for(o=0,j=y;j<=n;j+=x) o+=a[j]; printf("%d\n",o); } } else{ for(j=1;j<=p;++j) f[j][x%j]+=y-a[x]; a[x]=y; } } return 0; }

上面的题目只是牛刀小试,根号分治的应用还有很多,推荐题目:

CF1039D You Are Given a Tree 题解
CF1039E Summer Oenothera Exhibition 题解

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