数据结构27：矩阵加法（基于十字链表）
矩阵之间能够进行加法运算的前提条件是：各矩阵的行数和列数必须相等。
在行数和列数都相等的情况下，矩阵相加的结果就是矩阵中对应位置的值相加所组成的矩阵，例如：
采用链式存储结构存储稀疏矩阵三元组的方法，称为“十字链表法”。
用结构体自定义表示为：
所以，采用结构体自定义十字链表的结构，为：
对应行链表的位置确定之后，判断数据元素 A 在对应列的位置：
实现代码：
在解决 “将矩阵 B 加到矩阵 A ” 的问题时，由于采用的是十字链表法存储矩阵的三元组，所以在相加的过程中，针对矩阵 B 中每一个非 0 元素，需要判断在矩阵 A 中相对应的位置，有三种情况：
设指针 pa 和 pb 分别表示矩阵 A 和矩阵 B 中同一行中的结点（ pb 和 pa 都是从两矩阵的第一行的第一个非0元素开始遍历），针对上面的三种情况，细分为 4 种处理过程（第一种情况下有两种不同情况）：
实现代码：
图1 矩阵相加
十字链表法
之前所介绍的都是采用顺序存储结构存储三元组，在类似于矩阵的加法运算中，矩阵中的数据元素变化较大（这里的变化主要为：非0元素变为0，0变为非0元素），就需要考虑采用另一种结构——链式存储结构来存储三元组。采用链式存储结构存储稀疏矩阵三元组的方法，称为“十字链表法”。
十字链表法表示矩阵
例如，用十字链表法表示矩阵 A ，为：图2 矩阵用十字链表法表示
由此可见，采用十字链表表示矩阵时，矩阵的每一行和每一个列都可以看作是一个单独的链表，而之所以能够表示矩阵，是因为行链表和列链表都分别存储在各自的数组中
图 2 中：存储行链表的数组称为 rhead 数组；存储列链表的数组称为 chead 数组。
十字链表中的结点
从图2中的十字链表表示矩阵的例子可以看到，十字链表中的结点由 5 部分组成：图3 十字链表中的结点
指针域A存储的是矩阵中结点所在列的下一个结点的地址（称为 “down域”）；
指针域B存储的是矩阵中该结点所在行的下一个结点的地址（称为 “right域”）；
指针域B存储的是矩阵中该结点所在行的下一个结点的地址（称为 “right域”）；
用结构体自定义表示为：
typedef struct OLNode { int i, j, e; //矩阵三元组 i 代表行 j 代表列 e 代表当前位置的数据 struct OLNode *right, *down; //指针域 右指针 下指针 }OLNode, *OLink;
十字链表的结构
使用十字链表表示一个完整的矩阵，在了解矩阵中各结点的结构外，还需要存储矩阵的行数、列数以及非 0 元素的个数，另外，还需要将各结点链接成的链表存储在数组中。所以，采用结构体自定义十字链表的结构，为：
typedef struct { OLink *rhead, *chead; //存放各行和列链表头指针的数组 int mu, nu, tu; //矩阵的行数,列数和非零元的个数 }CrossList;
十字链表存储矩阵三元组
由于三元组存储的是该数据元素的行标、列标和数值，所以，通过行标和列标，就能在十字链表中唯一确定一个位置。首先判断该数据元素 A（例如三元组为：（i，j，k））所在行的具体位置：判断方法为：在同一行中通过列标来判断位置；在同一列中通过行标来判断位置。
- 如果 A 的列标 j 值比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值小，说明该数据元素在元素 B 的左侧，这时 A 就成为了该行第一个非0元素（也适用于当该行没有非 0 元素的情况，可以一并讨论）
- 如果 A 的列标 j 比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值大，说明 A 在 B 的右侧，这时，就需要遍历该行链表，找到插入位置的前一个结点，进行插入。
对应行链表的位置确定之后，判断数据元素 A 在对应列的位置：
- 如果 A 的行标比该列第一个非 0 元素 B 的行标 i 值还小，说明 A 在 B 的上边，这时 A 就成了该列第一个非 0 元素。（也适用于该列没有非 0 元素的情况）
- 反之，说明 A 在 B 的下边，这时就需要遍历该列链表，找到要插入位置的上一个数据元素，进行插入。
实现代码：
//创建系数矩阵M,采用十字链表存储表示 CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M) { int m,n,t; int i,j,e; OLNode *p,*q;//定义辅助变量 scanf("%d%d%d",&m,&n,&t); //输入矩阵的行列及非零元的数量 //初始化矩阵的行列及非零元的数量 M.mu=m; M.nu=n; M.tu=t; if(!(M.rhead=(OLink*)malloc((m+1)*sizeof(OLink)))||!(M.chead=(OLink*)malloc((n+1)*sizeof(OLink)))) { printf("初始化矩阵失败"); exit(0); //初始化矩阵的行列链表 } for(i=1;i<=m;i++) { M.rhead[i]=NULL; //初始化行 } for(j=1;j<=n;j++) { M.chead[j]=NULL; //初始化列 } for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e)) //输入三元组 直到行为0结束 { if(!(p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode)))) { printf("初始化三元组失败"); exit(0); //动态生成p } p->i=i; p->j=j; p->e=e; //初始化p if(NULL==M.rhead[i]||M.rhead[i]->j>j) { p->right=M.rhead[i]; M.rhead[i]=p; } else { for(q=M.rhead[i];(q->right)&&q->right->j<j;q=q->right); p->right=q->right; q->right=p; } if(NULL==M.chead[j]||M.chead[j]->i>i) { p->down=M.chead[j]; M.chead[j]=p; } else { for (q=M.chead[j];(q->down)&& q->down->i<i;q=q->down); p->down=q->down; q->down=p; } }
return M; }
十字链表解决矩阵相加问题
- 提取到的 B 中的三元组在 A 相应位置上没有非 0 元素，此时直接加到矩阵 A 该行链表的对应位置上；
- 提取到的 B 中三元组在 A 相应位置上有非 0 元素，且相加不为 0 ，此时只需要更改 A 中对应位置上的三元组的值即可；
- 提取到的 B 中三元组在 A 响应位置上有非 0 元素，但相加为 0 ，此时需要删除矩阵 A 中对应结点。
提示：算法中，只需要逐个提取矩阵 B 中的非 0 元素，然后判断矩阵 A 中对应位置上是否有非 0 元素，根据不同的情况，相应作出处理。
设指针 pa 和 pb 分别表示矩阵 A 和矩阵 B 中同一行中的结点（ pb 和 pa 都是从两矩阵的第一行的第一个非0元素开始遍历），针对上面的三种情况，细分为 4 种处理过程（第一种情况下有两种不同情况）：
- 当 pa 结点的列值 j > pb 结点的列值 j 或者 pa == NULL （说明矩阵 A 该行没有非 0 元素），两种情况下是一个结果，就是将 pb 结点插入到矩阵 A 中。
- 当 pa 结点的列值 j < pb 结点的列值 j ，说明此时 pb 指向的结点位置比较靠后，此时需要移动 pa 的位置，找到离 pb 位置最近的非 0 元素，然后在新的 pa 结点的位置后边插入；
- 当 pa 的列值 j == pb 的列值 j， 且两结点的值相加结果不为 0 ，只需要更改 pa 指向的结点的值即可；
- 当 pa 的列值 j == pb 的列值 j ，但是两结点的值相加结果为 0 ，就需要从矩阵 A 的十字链表中删除 pa 指向的结点。
实现代码：
CrossList AddSMatrix(CrossList M, CrossList N)
{ OLNode *pa, *pb; //新增的两个用于遍历两个矩阵的结点 OLink *hl = (OLink*)malloc(M.nu*sizeof(OLink)); //用于存储当前遍历的行为止以上的区域每一个列的最后一个非0元素的位置。 OLNode *pre = NULL; //用于指向pa指针所在位置的此行的前一个结点 //遍历初期，首先要对hl数组进行初始化，指向每一列的第一个非0元素 for (int j=1; j<=M.nu; j++)
{ hl[j] = M.chead[j]; } //按照行进行遍历 for (int i=1; i<=M.mu; i++)
{ //遍历每一行以前，都要pa指向矩阵M当前行的第一个非0元素；指针pb也是如此，只不过遍历对象为矩阵N pa = M.rhead[i]; pb = N.rhead[i]; //当pb为NULL时，说明矩阵N的当前行的非0元素已经遍历完。 while (pb != NULL)
{ //创建一个新的结点，每次都要复制一个pb结点，但是两个指针域除外。（复制的目的就是排除指针域的干扰） OLNode *p = (OLNode*)malloc(sizeof(OLNode)); p->i = pb->i; p->j = pb->j; p->e = pb->e; p->down = NULL; p->right = NULL; //第一种情况 if (pa==NULL || pa->j>pb->j)
{ //如果pre为NULL，说明矩阵M此行没有非0元素 if (pre == NULL)
{ M.rhead[p->i] = p; }
else
{
//由于程序开始时pre肯定为NULL，所以，pre指向的是第一个p的位置，在后面的遍历过程中，p指向的位置是逐渐向后移动的，所有，pre肯定会在p的前边 pre->right = p; } p->right = pa; pre = p; //在链接好行链表之后，链接到对应列的列链表中的相应位置 if (!M.chead[p->j] || M.chead[p->j]->i>p->i)
{ p->down=M.chead[p->j]; M.chead[p->j] = p; }
else
{ p->down = hl[p->j]->down; hl[p->j]->down = p; } //更新hl中的数据 hl[p->j] = p; }
else
{ //第二种情况，只需要移动pa的位置，继续判断pa和pb的位置，一定要有continue if (pa->j < pb->j)
{ pre = pa; pa = pa->right; continue; } //第三、四种情况，当行标和列标都想等的情况下，需要讨论两者相加的值的问题 if (pa->j == pb->j)
{ pa->e += pb->e; //如果为0，摘除当前结点，并释放所占的空间 if (pa->e == 0)
{ if (pre == NULL)
{ M.rhead[pa->i] = pa->right; }
else
{ pre->right = pa->right; } p = pa; pa = pa->right; if (M.chead[p->j] == p)
{ M.chead[p->j] = hl[p->j] = p->down; }
else
{ hl[p->j]->down = p->down; } free(p); } } } pb = pb->right; } } //用于输出矩阵三元组的功能函数 display(M);
return M; }
完整代码演示
#include<stdio.h> #include<stdlib.h>
typedef struct OLNode { int i,j,e; //矩阵三元组i代表行 j代表列 e代表当前位置的数据 struct OLNode *right, *down; //指针域 右指针 下指针 }OLNode, *OLink;
typedef struct { OLink *rhead, *chead; //行和列链表头指针 int mu, nu, tu; //矩阵的行数,列数和非零元的个数 }CrossList;
CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M); CrossList AddSMatrix(CrossList M, CrossList N); void display(CrossList M); void main() { CrossList M,N; printf("输入测试矩阵M:\n"); M=CreateMatrix_OL(M); printf("输入测试矩阵N:\n"); N=CreateMatrix_OL(N); M=AddSMatrix(M,N); printf("矩阵相加的结果为:\n"); display(M); }
CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M) { int m,n,t; int i,j,e; OLNode *p,*q; scanf("%d%d%d",&m,&n,&t); M.mu=m; M.nu=n; M.tu=t; if(!(M.rhead=(OLink*)malloc((m+1)*sizeof(OLink)))||!(M.chead=(OLink*)malloc((n+1)*sizeof(OLink)))) { printf("初始化矩阵失败"); exit(0); } for(i=1;i<=m;i++) { M.rhead[i]=NULL; } for(j=1;j<=n;j++) { M.chead[j]=NULL; } for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e))
{ if(!(p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode)))) { printf("初始化三元组失败"); exit(0); } p->i=i; p->j=j; p->e=e; if(NULL==M.rhead[i]||M.rhead[i]->j>j) { p->right=M.rhead[i]; M.rhead[i]=p; } else { for(q=M.rhead[i];(q->right)&&q->right->j<j;q=q->right); p->right=q->right; q->right=p; } if(NULL==M.chead[j]||M.chead[j]->i>i) { p->down=M.chead[j]; M.chead[j]=p; } else { for (q=M.chead[j];(q->down)&& q->down->i<i;q=q->down); p->down=q->down; q->down=p; } }
return M; }
CrossList AddSMatrix(CrossList M, CrossList N)
{ OLNode *pa, *pb; OLink *hl=(OLink*)malloc(M.nu*sizeof(OLink)); OLNode *pre=NULL; for (int j=1; j<=M.nu; j++)
{ hl[j]=M.chead[j]; } for (int i=1; i<=M.mu; i++)
{ pa=M.rhead[i]; pb=N.rhead[i]; while (pb!=NULL)
{ OLNode *p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode)); p->i=pb->i; p->j=pb->j; p->e=pb->e; p->down=NULL; p->right=NULL; if (pa==NULL||pa->j>pb->j)
{ if (pre==NULL)
{ M.rhead[p->i]=p; }
else
{ pre->right=p; } p->right=pa; pre=p; if (!M.chead[p->j] || M.chead[p->j]->i>p->i)
{ p->down=M.chead[p->j]; M.chead[p->j]=p; }
else
{ p->down=hl[p->j]->down; hl[p->j]->down=p; } hl[p->j]=p; }
else
{ if (pa->j<pb->j)
{ pre=pa; pa=pa->right; continue; } if (pa->j==pb->j)
{ pa->e+=pb->e; if (pa->e==0)
{ if (pre==NULL)
{ M.rhead[pa->i]=pa->right; }
else
{ pre->right=pa->right; } p=pa; pa=pa->right; if (M.chead[p->j]==p)
{ M.chead[p->j]=hl[p->j]=p->down; }
else
{ hl[p->j]->down=p->down; } free(p); } } } pb=pb->right; } } display(M); return M; }
void display(CrossList M)
{ printf("输出测试矩阵:\n"); printf("M:\n---------------------\ni\tj\te\n---------------------\n"); for (int i=1; i<=M.nu; i++) { if (NULL != M.chead[i]) { OLink p = M.chead[i]; while (NULL != p) { printf("%d\t%d\t%d\n", p->i, p->j, p->e); p = p->down; } } } }
运行结果：
输入测试矩阵M: 3 3 3 1 2 1 2 1 1 3 3 1 0 0 0 输入测试矩阵N: 3 3 4 1 2 -1 1 3 1 2 3 1 3 1 1 0 0 0
矩阵相加的结果为:
输出测试矩阵: M: --------------------- i j e --------------------- 2 1 1 3 1 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1
总结
使用十字链表法解决稀疏矩阵的压缩存储的同时，在解决矩阵相加的问题中，对于某个单独的结点来说，算法的时间复杂度为一个常数（全部为选择结构），算法的整体的时间复杂度取决于两矩阵中非0元素的个数。
