数据结构27：矩阵加法（基于十字链表）

矩阵之间能够进行加法运算的前提条件是：各矩阵的行数和列数必须相等。

在行数和列数都相等的情况下，矩阵相加的结果就是矩阵中对应位置的值相加所组成的矩阵，例如：

图1 矩阵相加

十字链表法

之前所介绍的都是采用顺序存储结构存储三元组，在类似于矩阵的加法运算中，矩阵中的数据元素变化较大（这里的变化主要为：非0元素变为0，0变为非0元素），就需要考虑采用另一种结构——链式存储结构来存储三元组。

采用链式存储结构存储稀疏矩阵三元组的方法，称为“十字链表法”。

十字链表法表示矩阵

例如，用十字链表法表示矩阵 A ，为：  
图2 矩阵用十字链表法表示
 
由此可见，采用十字链表表示矩阵时，矩阵的每一行和每一个列都可以看作是一个单独的链表，而之所以能够表示矩阵，是因为行链表和列链表都分别存储在各自的数组中
图 2 中：存储行链表的数组称为 rhead 数组；存储列链表的数组称为 chead 数组。

十字链表中的结点

从图2中的十字链表表示矩阵的例子可以看到，十字链表中的结点由 5 部分组成：
图3 十字链表中的结点
指针域A存储的是矩阵中结点所在列的下一个结点的地址（称为 “down域”）；
指针域B存储的是矩阵中该结点所在行的下一个结点的地址（称为 “right域”）；

用结构体自定义表示为： 
typedef struct OLNode
{
　　int i, j, e; 　　//矩阵三元组 i 代表行 j 代表列 e 代表当前位置的数据
　　struct OLNode *right, *down; //指针域 右指针 下指针
}OLNode, *OLink;

 

十字链表的结构

使用十字链表表示一个完整的矩阵，在了解矩阵中各结点的结构外，还需要存储矩阵的行数、列数以及非 0 元素的个数，另外，还需要将各结点链接成的链表存储在数组中。

所以，采用结构体自定义十字链表的结构，为：
typedef struct
{
　　OLink *rhead, *chead; 　　//存放各行和列链表头指针的数组
　　int mu, nu, tu; 　　　　　　//矩阵的行数,列数和非零元的个数
}CrossList;

十字链表存储矩阵三元组

由于三元组存储的是该数据元素的行标、列标和数值，所以，通过行标和列标，就能在十字链表中唯一确定一个位置。

判断方法为：在同一行中通过列标来判断位置；在同一列中通过行标来判断位置。

首先判断该数据元素 A（例如三元组为：（i，j，k））所在行的具体位置：
  • 如果 A 的列标 j 值比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值小，说明该数据元素在元素 B 的左侧，这时 A 就成为了该行第一个非0元素（也适用于当该行没有非 0 元素的情况，可以一并讨论）
  • 如果 A 的列标 j 比该行第一个非 0 元素 B 的 j 值大，说明 A 在 B 的右侧，这时，就需要遍历该行链表，找到插入位置的前一个结点，进行插入。

对应行链表的位置确定之后，判断数据元素 A 在对应列的位置：
  • 如果 A 的行标比该列第一个非 0 元素 B 的行标 i 值还小，说明 A 在 B 的上边，这时 A 就成了该列第一个非 0 元素。（也适用于该列没有非 0 元素的情况）
  • 反之，说明 A 在 B 的下边，这时就需要遍历该列链表，找到要插入位置的上一个数据元素，进行插入。

实现代码： 
//创建系数矩阵M,采用十字链表存储表示
CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M)
{
　　int m,n,t;
　　int i,j,e;
　　OLNode *p,*q;//定义辅助变量
　　scanf("%d%d%d",&m,&n,&t); //输入矩阵的行列及非零元的数量
　　//初始化矩阵的行列及非零元的数量
　　M.mu=m;
　　M.nu=n;
　　M.tu=t;
　　if(!(M.rhead=(OLink*)malloc((m+1)*sizeof(OLink)))||!(M.chead=(OLink*)malloc((n+1)*sizeof(OLink))))
　　{
　　　　printf("初始化矩阵失败");
　　　　exit(0); //初始化矩阵的行列链表
　　}
　　for(i=1;i<=m;i++)
　　{
　　　　M.rhead[i]=NULL; //初始化行
　　}
　　for(j=1;j<=n;j++)
　　{
　　　　M.chead[j]=NULL; //初始化列
　　}
　　for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e)) //输入三元组 直到行为0结束
　　{
　　　　if(!(p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode))))
　　　　{
　　　　　　printf("初始化三元组失败");
　　　　　　exit(0); //动态生成p
　　　　}
　　　　p->i=i;
　　　　p->j=j;
　　　　p->e=e; //初始化p
　　　　if(NULL==M.rhead[i]||M.rhead[i]->j>j)
　　　　{
　　　　　　p->right=M.rhead[i];
　　　　　　M.rhead[i]=p;
　　　　}
　　　　else
　　　　{
　　　　　　for(q=M.rhead[i];(q->right)&&q->right->j<j;q=q->right);
　　　　　　p->right=q->right;
　　　　　　q->right=p;
　　　　}
　　　　if(NULL==M.chead[j]||M.chead[j]->i>i)
　　　　{
　　　　　　p->down=M.chead[j];
　　　　　　M.chead[j]=p;
　　　　}
　　　　else
　　　　{
　　　　　　for (q=M.chead[j];(q->down)&& q->down->i<i;q=q->down);
　　　　　　p->down=q->down;
　　　　　　q->down=p;
　　　　}
　　}

　　return M;
}

十字链表解决矩阵相加问题

在解决 “将矩阵 B 加到矩阵 A ” 的问题时，由于采用的是十字链表法存储矩阵的三元组，所以在相加的过程中，针对矩阵 B 中每一个非 0 元素，需要判断在矩阵 A 中相对应的位置，有三种情况：

  1. 提取到的 B 中的三元组在 A 相应位置上没有非 0 元素，此时直接加到矩阵 A 该行链表的对应位置上；
  2. 提取到的 B 中三元组在 A 相应位置上有非 0 元素，且相加不为 0 ，此时只需要更改 A 中对应位置上的三元组的值即可；
  3. 提取到的 B 中三元组在 A 响应位置上有非 0 元素，但相加为 0 ，此时需要删除矩阵 A 中对应结点。

提示：算法中，只需要逐个提取矩阵 B 中的非 0 元素，然后判断矩阵 A 中对应位置上是否有非 0 元素，根据不同的情况，相应作出处理。

设指针 pa 和 pb 分别表示矩阵 A 和矩阵 B 中同一行中的结点（ pb 和 pa 都是从两矩阵的第一行的第一个非0元素开始遍历），针对上面的三种情况，细分为 4 种处理过程（第一种情况下有两种不同情况）：

  1. 当 pa 结点的列值 j > pb 结点的列值 j 或者 pa == NULL （说明矩阵 A 该行没有非 0 元素），两种情况下是一个结果，就是将 pb 结点插入到矩阵 A 中。
  2. 当 pa 结点的列值 j < pb 结点的列值 j ，说明此时 pb 指向的结点位置比较靠后，此时需要移动 pa 的位置，找到离 pb 位置最近的非 0 元素，然后在新的 pa 结点的位置后边插入；
  3. 当 pa 的列值 j == pb 的列值 j， 且两结点的值相加结果不为 0 ，只需要更改 pa 指向的结点的值即可；
  4. 当 pa 的列值 j == pb 的列值 j ，但是两结点的值相加结果为 0 ，就需要从矩阵 A 的十字链表中删除 pa 指向的结点。

实现代码： 
CrossList AddSMatrix(CrossList M, CrossList N)
{
　　OLNode *pa, *pb;   //新增的两个用于遍历两个矩阵的结点
　　OLink *hl = (OLink*)malloc(M.nu*sizeof(OLink));　　//用于存储当前遍历的行为止以上的区域每一个列的最后一个非0元素的位置。
　　OLNode *pre = NULL;　　//用于指向pa指针所在位置的此行的前一个结点
　　//遍历初期，首先要对hl数组进行初始化，指向每一列的第一个非0元素
　　for (int j=1; j<=M.nu; j++) 
　　{
　　　　hl[j] = M.chead[j];
　　}
　　//按照行进行遍历
　　for (int i=1; i<=M.mu; i++) 
　　{
　　　　//遍历每一行以前，都要pa指向矩阵M当前行的第一个非0元素；指针pb也是如此，只不过遍历对象为矩阵N
　　　　pa = M.rhead[i];
　　　　pb = N.rhead[i];
　　　　//当pb为NULL时，说明矩阵N的当前行的非0元素已经遍历完。
　　　　while (pb != NULL) 
　　　　{
　　　　　　//创建一个新的结点，每次都要复制一个pb结点，但是两个指针域除外。（复制的目的就是排除指针域的干扰）
　　　　　　OLNode *p = (OLNode*)malloc(sizeof(OLNode));
　　　　　　p->i = pb->i;
　　　　　　p->j = pb->j;
　　　　　　p->e = pb->e;
　　　　　　p->down = NULL;
　　　　　　p->right = NULL;
　　　　　　//第一种情况
　　　　　　if (pa==NULL || pa->j>pb->j) 
　　　　　　{
　　　　　　　　//如果pre为NULL，说明矩阵M此行没有非0元素
　　　　　　　　if (pre == NULL) 
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　M.rhead[p->i] = p;
　　　　　　　　}
　　　　　　　　else
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　//由于程序开始时pre肯定为NULL，所以，pre指向的是第一个p的位置，在后面的遍历过程中，p指向的位置是逐渐向后移动的，所有，pre肯定会在p的前边
　　　　　　　　　　pre->right = p;
　　　　　　　　}
　　　　　　　　p->right = pa;
　　　　　　　　pre = p;
　　　　　　　　//在链接好行链表之后，链接到对应列的列链表中的相应位置
　　　　　　　　if (!M.chead[p->j] || M.chead[p->j]->i>p->i) 
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　p->down=M.chead[p->j];
　　　　　　　　　　M.chead[p->j] = p;
　　　　　　　　}
　　　　　　　　else
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　p->down = hl[p->j]->down;
　　　　　　　　　　hl[p->j]->down = p;
　　　　　　　　}
　　　　　　　　//更新hl中的数据
　　　　　　　　hl[p->j] = p;
　　　　　　}
　　　　　　else
　　　　　　{
　　　　　　　　//第二种情况，只需要移动pa的位置，继续判断pa和pb的位置，一定要有continue
　　　　　　　　if (pa->j < pb->j) 
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　pre = pa;
　　　　　　　　　　pa = pa->right;
　　　　　　　　　　continue;
　　　　　　　　}
　　　　　　　　//第三、四种情况，当行标和列标都想等的情况下，需要讨论两者相加的值的问题
　　　　　　　　if (pa->j == pb->j) 
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　pa->e += pb->e;
　　　　　　　　　　//如果为0，摘除当前结点，并释放所占的空间
　　　　　　　　　　if (pa->e == 0) 
　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　if (pre == NULL) 
　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　M.rhead[pa->i] = pa->right;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　else
　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　pre->right = pa->right;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　p = pa;
　　　　　　　　　　　　pa = pa->right;
　　　　　　　　　　　　if (M.chead[p->j] == p) 
　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　M.chead[p->j] = hl[p->j] = p->down;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　else
　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　hl[p->j]->down = p->down;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　free(p);
　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　}
　　　　　　}
　　　　　　pb = pb->right;
　　　　}
　　}
　　//用于输出矩阵三元组的功能函数
　　display(M);

　　return M;
}

 

完整代码演示

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef struct OLNode
{
　　int i,j,e; 　　//矩阵三元组i代表行 j代表列 e代表当前位置的数据
　　struct OLNode *right, *down;　　 //指针域 右指针 下指针
}OLNode, *OLink;

typedef struct
{
　　OLink *rhead, *chead;　　 //行和列链表头指针
　　int mu, nu, tu; 　　//矩阵的行数,列数和非零元的个数
}CrossList;

CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M);
CrossList AddSMatrix(CrossList M, CrossList N);
void display(CrossList M);
void main()
{
　　CrossList M,N;
　　printf("输入测试矩阵M:\n");
　　M=CreateMatrix_OL(M);
　　printf("输入测试矩阵N:\n");
　　N=CreateMatrix_OL(N);
　　M=AddSMatrix(M,N);
　　printf("矩阵相加的结果为:\n");
　　display(M);
}

CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M)
{
　　int m,n,t;
　　int i,j,e;
　　OLNode *p,*q;
　　scanf("%d%d%d",&m,&n,&t);
　　M.mu=m;
　　M.nu=n;
　　M.tu=t;
　　if(!(M.rhead=(OLink*)malloc((m+1)*sizeof(OLink)))||!(M.chead=(OLink*)malloc((n+1)*sizeof(OLink))))
　　{
　　　　printf("初始化矩阵失败");
　　　　exit(0);
　　}
　　for(i=1;i<=m;i++)
　　{
　　　　M.rhead[i]=NULL;
　　}
　　for(j=1;j<=n;j++)
　　{
　　　　M.chead[j]=NULL;
　　}
　　for(scanf("%d%d%d",&i,&j,&e);0!=i;scanf("%d%d%d",&i,&j,&e))
　　{
　　　　if(!(p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode))))
　　　　{
　　　　　　printf("初始化三元组失败");
　　　　　　exit(0);
　　　　}
　　　　p->i=i;
　　　　p->j=j;
　　　　p->e=e;
　　　　if(NULL==M.rhead[i]||M.rhead[i]->j>j)
　　　　{
　　　　　　p->right=M.rhead[i];
　　　　　　M.rhead[i]=p;
　　　　}
　　　　else
　　　　{
　　　　　　for(q=M.rhead[i];(q->right)&&q->right->j<j;q=q->right);
　　　　　　p->right=q->right;
　　　　　　q->right=p;
　　　　}
　　　　if(NULL==M.chead[j]||M.chead[j]->i>i)
　　　　{
　　　　　　p->down=M.chead[j];
　　　　　　M.chead[j]=p;
　　　　}
　　　　else
　　　　{
　　　　　　for (q=M.chead[j];(q->down)&& q->down->i<i;q=q->down);
　　　　　　p->down=q->down;
　　　　　　q->down=p;
　　　　}
　　}

　　return M;
}

CrossList AddSMatrix(CrossList M, CrossList N)
{
　　OLNode *pa, *pb;
　　OLink *hl=(OLink*)malloc(M.nu*sizeof(OLink));
　　OLNode *pre=NULL;
　　for (int j=1; j<=M.nu; j++) 
　　{
　　　　hl[j]=M.chead[j];
　　}
　　for (int i=1; i<=M.mu; i++) 
　　{
　　　　pa=M.rhead[i];
　　　　pb=N.rhead[i];
　　　　while (pb!=NULL) 
　　　　{
　　　　　　OLNode *p=(OLNode*)malloc(sizeof(OLNode));
　　　　　　p->i=pb->i;
　　　　　　p->j=pb->j;
　　　　　　p->e=pb->e;
　　　　　　p->down=NULL;
　　　　　　p->right=NULL;
　　　　　　if (pa==NULL||pa->j>pb->j) 
　　　　　　{
　　　　　　　　if (pre==NULL) 
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　M.rhead[p->i]=p;
　　　　　　　　}
　　　　　　　　else
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　pre->right=p;
　　　　　　　　}
　　　　　　　　p->right=pa;
　　　　　　　　pre=p;
　　　　　　　　if (!M.chead[p->j] || M.chead[p->j]->i>p->i) 
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　p->down=M.chead[p->j];
　　　　　　　　　　M.chead[p->j]=p;
　　　　　　　　}
　　　　　　　　else
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　p->down=hl[p->j]->down;
　　　　　　　　　　hl[p->j]->down=p;
　　　　　　　　}
　　　　　　　　hl[p->j]=p;
　　　　　  }
　　　　　　else
　　　　　　{
　　　　　　　　if (pa->j<pb->j) 
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　pre=pa;
　　　　　　　　　　pa=pa->right;
　　　　　　　　　　continue;
　　　　　　　　}
　　　　　　　　if (pa->j==pb->j) 
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　pa->e+=pb->e;
　　　　　　　　　　if (pa->e==0) 
　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　if (pre==NULL) 
　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　M.rhead[pa->i]=pa->right;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　else
　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　pre->right=pa->right;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　p=pa;
　　　　　　　　　　　　pa=pa->right;
　　　　　　　　　　　　if (M.chead[p->j]==p) 
　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　M.chead[p->j]=hl[p->j]=p->down;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　else
　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　hl[p->j]->down=p->down;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　free(p);
　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　}
　　　　　　}
　　　　　　pb=pb->right;
　　　　}
　　}
　　display(M);
　　return M;
}

void display(CrossList M)
{
　　printf("输出测试矩阵:\n");
　　printf("M:\n---------------------\ni\tj\te\n---------------------\n");
　　for (int i=1; i<=M.nu; i++)
　　{
　　　　if (NULL != M.chead[i])
　　　　{
　　　　　　OLink p = M.chead[i];
　　　　　　while (NULL != p)
　　　　　　{
　　　　　　　　printf("%d\t%d\t%d\n", p->i, p->j, p->e);
　　　　　　　　p = p->down;
　　　　　　}
　　　　}
　　}
}


运行结果：

输入测试矩阵M:
3 3 3
1 2 1
2 1 1
3 3 1
0 0 0
输入测试矩阵N:
3 3 4
1 2 -1
1 3 1
2 3 1
3 1 1
0 0 0


矩阵相加的结果为:

输出测试矩阵:
M:
---------------------
i j e
---------------------
2 1 1
3 1 1
1 3 1
2 3 1
3 3 1

总结

使用十字链表法解决稀疏矩阵的压缩存储的同时，在解决矩阵相加的问题中，对于某个单独的结点来说，算法的时间复杂度为一个常数（全部为选择结构），算法的整体的时间复杂度取决于两矩阵中非0元素的个数。

posted @ 2018-05-15 10:46  程序员进阶笔记  阅读(4414)  评论(0)  编辑  收藏  举报