欧拉筛法线性时间的证明

为什么欧拉筛法有两重循环却是线性的呢？

先看代码：

void euler(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0){
            prime[++tot]=i;
        }
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(i*prime[j]>n){
                break; 
            }
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                break;
            }
        }
    }
}

欧拉筛法有
if(i%p[j]==0)
    break;
这个语句
因为每个数都可以表示为质数的积，所以如果出现了 i%p[j]==0 的情况，那么 i 就不是 i*p[j] 的质因子，是一个合数，若将 i 表示为两个数： i 最小的质因子 a 与 i/a 的值 b 相乘 (i=a*b) ，那么 i*p[j] 也可表示为 (b*p[j])*a ，所以当前就不用筛掉 i*p[j] ，等到 i 循环到 b*p[j] 时筛掉 (b*p[j])*a 即可。
所以每个数只会被自己的最小质因子筛掉，复杂度为 O(n) 。