多维随机变量及其分布

《二维随机变量》

　　

 

 　　注意 在分布函数中 P{X<=x 且 Y<=y}

　 而且有性质：

　　　

 

 

 　　这个性质在求概率密度的未知数时有用

　  

　　

 　　　　这个公式结合一下二维前缀和算法就能很好明白了

 

　　《二维离散型随机变量》

　　　　

 

 

 　　　　　　　　注意一下分布律的求法，其中的概率记住：X与Y是 且

 

 

　　《二维连续型随机变量》

　　　　

 

 

　　　　具体练习看书P65

 

　　　《高数知识》

 

 　　　　　　到这里不得不复习一下高数的知识了：

　　　　　　z=f(x,y) , (x,y) 属于 D

　　　　　　z=f(P) , P 属于 D

　　　　　　P=（x,y）

　　　　　　这个告诉我们要将(x,y)想象成平面中的一个点 ，这个点就是变量　

　　　　z=f (x,y) 中的这个z就是这个点对应的函数值，f是函数

　　　　如果以体积为例：

　　　　　　

 

 

 

 

　　　　　　　　（x,y）就是第一张图上阴影部分上的点

　　　　　那么这个阴影部分面咋来的？

　　　　　　

 

 

　　　　　　这个阴影部分就是这个G了，在我们这里

 

　　　　　　根据

 

 

 　　　　　　　　　　很明显知道我们这里的G是个矩阵

　　　　　

　　　　　然后z=f(x,y)

　　　　　　z就是在点（x,y）上对应的高度了

　　　　　其实整体来看

 

 

　　　　　就是在求的体积

　　　　   上图中

 

 

　　　　　即是算在x=x0固定时的截面积A（x0）

 

　　　　　

 

 《边缘分布》

　　　 二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数 F(x,y).

　　而X 和Y都是随机变量，各自也有分布函数,将它们分别记为Fx(x),Fy(y),

　　依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y 的边缘分布函数.

 

　　

 

　　　 

 

 《对于离散型随机变量的分布律》

　　·

 　　联合分布率和边缘分布率

 　　具体在图上的对应看题P67

 

《对于连续型随机变量的概率密度》

 　　

 　　　　　　因为有

 

 

　　　　同时也有 F（x）=f（x）dx

 

 

　　　　所以这里

 

 

 

 

 

 

 

 

 　　　　

　　具体例子：

　　　　，让我们来求边缘概率密度

 

 

　　　　首先来求fX(x)

　　　　根据上面的式子我们知道

 

 

 　　　　　　  因为f(x,y)在x与y不同时，取值也不同（即是个分段函数），

　　　　所以我们可以将fX（x）写成

　　　　　 ，0<=x<=1

 

 

　　　　　0 ,其他

　　　　这个如何理解？

　　　　　　

 

 

 　　　　　　　　　　如图：根据，

 

 

　　　　　　说明只要在图上的阴影部分处，f(x,y)=6，其余为0

　　　　　　即在0<=x<=1时，同时 y根据 x变化 即 x<=y<=x^2时

 

　　　　　要写出fY(y）也是同理

　　　　要在 0<=y<=1 时，x根据y变化 ，即 y<=x<=sqrt(y)时

　　　　f(x,y)才为6

　　　　

 

 

 

 

《条件分布》

　　《离散型随机变量的条件分布率》

 　　　　

 

 　　　　

 

 

 　　《连续型随机变量的条件概率》

　　　　

 

　　　　

 

 

 　　　　具体证明在P72

　　同时还有：

　　　　

 

 

 　　　　　　

 

 　　　　　　先要求 ，即求 f(x,y)/f(y)

 

 

　　　　这里f(x,y）已知

　　　　只要求f(y)

　　　　通过上一章中的边缘概率密度知道 

 　　　　　　

 

 　　　　　　

　　　 

 

 　　　

 

 　　　　f(x,y）只要 x^2+y^2<=1 才有值

　　既然这里我们是以y作为变量

 

 

　　那么这里需要用 y来表示x的范围

 

 

　　即有 g1(y)<=x<=g2(y) 的形式

　　通过 x^2+y^2<=1 容易知道要写成：

　　　　

 

 

　　　　同时要注意y的范围，容易知道是 -1<=y<=1

 

　　　　注意因为这里只有y作为变量，不要用x来表达y的范围

 

　　　　比如写成 -sqrt(1-x^2)<=y<=sqrt(1-x^2)

 

 

 

 《相互独立的随机变量》

　　

 

 　　《对于连续型》

 

 　　　　　　

 

 　　《对于离散型》

　　　　　　

 

 

 

　

 《两个随机变量的函数的分布》

　　　　

 

 

 记忆方式：

　　如dx，将y变化成g(x)的形式

　　如y=g(x)=zx

　　然后对g(x)求导，z作为元变量

　　然后得到然后乘到概率密度那里

 

 

 

　　 　　　　

　　　　

 

《练习》