随机变量及其分布

《随机变量》

　　在随机试验中的样本空间S

　　其中的每一个事件e，都可以在我们的定义下对应一个实数

　　则X=X（e)为随机变量

 

　　如：我们将一枚硬币抛2次，记X为2次抛得到硬币为正面的次数

　　则这个时候，每一个事件都可以对应于一个实数

　　符合函数的定义

 

　　类似如图：

　　

 

 

 　　　

　　因为随机变量的取值随试验的结果而定，所以有一定的概率

　　有如下写法：

　　　　P{X<=1}=...

　　　　P{X=1}=...

　　之类的

 

《离散型随机变量及其分布率》

　　随机变量的可能取值是 有限个 或 可列无限个，为离散型随机变量

　　但是如果记X为灯泡的寿命，那么寿命是不可列的（因为时间可以无限细分下去，没有尽头）

　　为非离散型随机变量

　　

　　我们知道离散型随机变量X，是函数X（e）的值域

　　记P{X=xk }= pk ,k=1,2....    （2.1）

　　结合函数定义来理解：

　　　　

 

 

 　　　　　　

 

 

 　　　　　　如何理解？

　　　　　　如果！=空，那么就有事件对应于多个随机变量，这是不符合函数定义的

 

 

《0-1分布》

　　随机变量X只可能取 0与1 两个值

　　分布式： P{X=k} =p^k (1-p)^(1-k) ,k=0,1

《n重伯努利试验与二项分布》

　　伯努利试验：试验E只有两个可能结果 A 与 -A

　　n重伯努利试验：试验E独立地重复n次

 

　　每一次试验中P（A）=p 保持不变，同时注意“独立”

　　即各个试验的结果互不影响

 

　　其分布式：P（X=k）= C(k)(n) p^k (q)^(n-k)

　　q=1-p

　　　　其长的特像二项式 (p+q)^n 中 展开式的p^k 的一项

　　所以也被称为二项分布

　　记 X~b(n,p)

《泊松分布》

　　书P37

 《离散型随机变量的分布函数》

　　注意离散型随机变量也是有分布函数的！

　　

 　　其能够取到的点，即是分布函数上的分段点

　 下面有问题来了:

　　　　

 

　　　　可知这个离散型随机变量只能够取到 -1,2 这两个点

　　所以因为

 　　　　则P{X=2}=2/3,

　　　a=1/3

 

 

《分布函数，连续型随机变量及其概率密度》

　　我们知道 有  P{X<=1}=...

　　　现在令

　　　F（x）= P{X<=x}

　　　　-∞<x<+∞

　　　F（x）则被称为随机变量X的分布函数

　　　P{x1<X<=x2}=F(x2)-F(x1)

　　

　　如果随机变量X是连续的，那么其称为连续型随机变量

　　　　同时有

　　　　　　F(x)=P{X<=x}=∫(x)(-∞)f（t）dt

　　　　　　　　f（t）这个函数被称为概率密度函数

 

　　　　　　有性质：

　　　　　　　　P{X=a} =0 (a为某具体实数）

　　　　　　　　　　这个性质有时作用呢？

　　　　　　　　　　　　比如：P{x1<=X<=x2} = P{x1<X<=x2}

　　　　　　　　　　　　可以让用公式F（x2）- F(x1) 了

　　　　　　　　∫(+∞)(-∞)f（t）=1

　　　　　　　　F（+∞）=1

　　　　　　　　F（-∞）=0

　　　　　　　　　　这个性质可以求f(t)函数中的参数

 

　　　　　　　　

 

 

 

 

　　　同时我们在求连续型的 F（x）的时候，一定要注意

　　　　

 

 

 　　　　　　　务必要记得想这种的要分段，具体如下：

　　　　　　

 

 

 　　　　　　　　　　在x<=0时与 0<x<1时 f(t)是不一样的，注意利用求导的分段求

 

　　　　如何检查自己的F（x）是否求对了呢？

　　　　　　　　判断是否：

　　　　　　　　　　　F（+∞）=1

 

　　　　　　　　F（-∞）=0

　　　　　　　　分断点处，左极限与右极限（即是否连续）是否相等

 

 

《连续型随机变量的各种分布》

　　《均匀分布》

　　　　概率密度：　f(x)={ 1/(b-a) ,a<x<b

　　　　　　　　　　　　0,其他

　　　　分布函数：　F（x）= { 0，x<a

　　　　　　　　　　　　　     x-a/(b-a) , a<=x<b

　　　　　　　　　　　　　　 1, x>=b

　　　　X~U(a,b)

　　　　当只要看到某连续型随机变量X具有概率密度或分布函数如上

　　　　那么就应该要知道X在（a,b）上服从均匀分布

　　　　可以这么理解这个：

　　　　　

 

 

 　　　　　　　　概率都均匀地分布在（a,b）上

　　　　　

　　《指数分布》

　　　概率密度：

　　　　f(x)={ 1/o*(e^(-x/o)) , x>0

　　　　　　　0,其他

　　　分布函数：

　　　　F（x）={ 1-（e^(-x/o)）

　　　　　　　　0,其他

　　　　其主要的运用在于他的 无记忆性性质

　　　　P46

　　　

　　《正态分布》

　　　　

 

 

 　　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　　　X~N(u,)

 

 

 

 

 

 

　　　　

 

 

　　　　　

 

 　　　　　　　　标准正态分布我们可以进行查表 　( P(397) ) 来得到其值

 

 

 　　　　　　　　但是正态分布不行

 

　　一个十分重要的性质，可以将正态分布与标准正态分布联系起来：

　　　　证明：P48

　　　　

 

 

 　　　　　　　　　

 

 　　　　　　　　　这个可以将正态分布的分布函数的值与

　　　　　标准正态分布的分布函数的值联系起来

　　　　　是标准正态分布的分布函数

 

 

 

《随机变量的函数》

　　　随机变量的函数这个词说了好像没说一样，想要了解其含义看P50

　　　分别记 X,Y的分布函数为FX(x),FY(y)

　　　已知X的概率函数为fX(x),已知y=g(x)

　　　求fY(y) (即Y的概率函数）

　　

　　　　通解方法是：

　　　　　　FX（x）=P{X<=x} 

　　　　　　FY(y)=P{Y<=y}

　　　　　　　　  =P{g(X)<=y}

　　　　　　　　  =P{ X<=h(y) } (这里只是假设 X<=h(y)，具体要根据情况)

　　　　　　　　 =FX（h(y)）

　　　　然后求导

　　　　　　fY(y)=fX(h(y)) * h(y)'

　　　　典型例子看P52

 

　　　还有个定理：可以利用g(x)的单调性直接求上述问题

　　　　P44

　　　　对于平均分布和指数分布也可以用，专门题目P54

 

《练习》

 

 

 

 　　F（x）=P{X<=x}

　这里X 表示等待的时间

　有80%的概率亮红灯，要进行等待，其等待的时间在[0,30]上服从均匀分布，

　　即最多等30s,最少等0s

　则从这里可以先得：

　　F(x)=0,x<0

　　F(x)=1,x>=30

　　当0<=x<30时

　　　　要求P{X<=x},则要用全概率公式（因为有红灯亮和绿灯亮的两种情况）

　　　　设事件B为红灯亮

　　　　P{X<=x}=P(X<=x|B)*P(B)+P(X<=x|-B)*P(-B)

　　　　当-B时，即绿灯亮，X=0,即0<=x，在这个时候是永远成立的

　　　　即P{X<=x}=P(X<=x|B)*0.8+1*0.2