概率论的基本概念

 《基本概念》

在一次随机试验中可能会发生的事件A的概率为？

在描述中经常会看到这样的语句

　　随机试验：

　　　　1.相同条件下可重复

　　　　2.结果可能不只一个，能事先明确全部的结果

　　　　3.在实验之前不知道结果

　　　的试验

　　事件：

　　　　试验E的样本空间S的子集（一个事件可能包括多个样本点（结果））

　　　　样本空间：

　　　　　　试验E全部结果的集合

　　　　基本事件：

　　　　　　一个样本点组成的集合

　　频率和概率：

　　　　在n->无穷，频率接近于概率

　　　　同时一个重要的点：

　　　　　　可列可加性和有限可加性:

　　　　　　　　

 

 

《计算》　　　　　

　　在AB时：

　　P（B - A）=P（B）- P(A)

 

　任意情况下：

　AUB=AU(B-AB)

 

　在任意情况下：

　P(AUB)=P(A）+ P(B)-P(AB)

 

　　上面这个式子可以推导到多个：　　

　　P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

 

　在AB=空集的情况下，才有：

　　P（AUB）=P(A)+P(B)

 

《 等可能概率（古典概率）》

　　其中有一个特别有意思的地方：

　　　　有a个白球，b个红球

　　　　在放回抽样和不放回抽样的情况下 ，k个人有一定次序地抽球

　　　　第i个人抽到白球的概率：

　　　　　　无论是在放回抽样还是不放回抽样

　　　　　　无论i是多少

　　　　　　概率都是 a/a+b

　　放回抽样很容易得到

　　但是对于不放回抽样如何理解？

　　

　　　　难道第i个人抽白球不会受到前面i-1个人是否抽到白球影响吗？

　　　　　　对于这个问题答案是会的，这个是条件概率中的问题了

　　　　但是这里我先前并不知道是否前面i-1个人是否抽到白球

　　　　所以每个人在这个时候抽到白球的概率都是等价的（即不知道前提条件或前提条件与本事件相互独立）

 

　　　　如果这样描述：前i-1个人有一个人抽到了白球，问第i个人抽到白球的概率

　　　　　　那么这个就是条件概率了，答案不一定与上面相同

 

《条件概率》

　　条件概率的理解可以从两个方面来理解：

　　　　1.条件概率即是在缩小样本空间的情况下的概率

 

　　　　　　如条件概率是在A事件发生下，B发生的概率 P（B|A）

　　　　　　已知，A事件一定会发生，而且B发生还是在A发生的基础上

　　　　　　则样本空间相当于变成了集合A

 

　　　　　　P(AB）为事件A和事件B一起发生的概率

　　　　　　（P（AB）与P(B|A)的区别是前者不知道A事件一定（提前）会发生而后者是知道的）

 

　　　　　　　则P（B|A）=P(AB)/P(A)

　　　　　P(S|A)=1　　(S为必然事件）

 

　　　　2.概率树：

　　　　　　

 

　　　　　　如图为一颗概率树，根节点出的概率和必然为1

　　　　　　这里P（XY）=2/3 * 2/3

　　　　　　　　P  (Y| X) =P(XY)/P(X)=2/3

　　　　

　常用的公式变换：

　　1. (1)P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn)

　　　　这个即为全概率公式　　　　　　　

　　　　Bi是样本空间的一个划分

　　　　Bi Bj=空集

 

　　　　通过P（B|A）=P(AB)/P(A)的代入变换也可以写成：

　　　　(2)P(A)=P(A|B1)P（B1）+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn）

　　　　

 

 　　　　　　注意：

　　　　　　要重点理解P(AB)=P(B|A) P(A) 的含义

　　　　　　如下一道题：

　　　　

　　　　　　　　设原发信息为A的事件为S

　　　　　　收到信息为A的事件为T

　　　　　　则P（S|T）=？

　　　　　　明显收到信息A，原发信息可能为A，P（T|S）=0.98 

　　　　　　　　,根据这个题意，是已经知道发送信息为A

 

 

　　　　　　　　而收到信息为B ，即P（-T|S），又 1=P（T|S）+P（-T|S） （条件概率的定义 T U -T 即是必然事件）

 

　　　　　　　　收到信息A，原发信息可能为B，P（T|-S）=0.01

　　　　　　P（S）=2/3

　　　　　则 P（S|T)=P(ST)/P(T)

　　　　　　P（T）=P(T|S)P(S)+P(T|-S)P(-S)

　　　　　　P(ST)=P(T|S)P(S)

 

　　2.(3)P(Bi|A）= P(BiA)/P(A)

　　　　　　　　=P(A|Bi)P(Bi)/ ...+P(A|Bi)P(Bi)+...

　　　　上面即推导出了贝叶斯公式

 

 　　　　

　　　　当只有A，B两个事件时的特殊情况：

 

　　3.P（AB）=P(B)-P(-AB)

　　4.P（A|B）=1-P(-A|B)　　　　　

　　　　　　

 

《独立性》

　　如果A与B之间是否发生互不影响，则称他们相互独立

　　则有：P（B|A）=P（B）　　　　

　　　　　P（AB）=P(A)P(B）（满足这个式子，则称A ，B相互独立）

　　如果A与B相互独立，则

　　A与-B相互独立，-A与B相互独立，-A 和-B相互独立

 

《相互独立 两两独立 不相容之间的区别与联系》

 

 

 　　从上面我们可以知道：

 

　　　　A与B相互独立则是P（AB）=P（A）P（B）

 

 

 　　从上面可知：

　　我们所说的不相容，即是互斥的意思

　　而且如果互斥则：P（AUB）=P(A)+P(B)

　　如果P(A)>0 &&　P(B）>0 则：互斥与独立是不能同时成立的

　　因为想要证明 A与B相互独立

　　则充分必要条件是 P（AB）=P（A）P（B）

　　但是 如果A与B是互斥的

　　则不可能 P(A)>0 &&　P(B）>0 

 

 

 

 

　　两两独立并不代表相互独立：

 　　　假设A，B，C两两独立

　　那么P（AB）=P（A）P（B）

　　　　.....

　　但是可能 P(AB) != P(AB) P(C)

　　即 事件AB 与 事件C 不是独立的

　　以这张图为例：

　　　图中任意两个环之间是可以拿下来的

　　　但是当两个环与第三个环发生关系时

　　　任何一个环都拿不下来了

　

　　如果想要A,B,C相互独立则必须满足一下：

 

　　用P（ABC）=P(A)P(B)P(C)

　　正好可以满足上面筛选出 AB与C不独立的情况

　　

　　注意 P（ABC）=P(A)P(B)P(C) 不能说明 A,B,C相互独立

　　证明方式可以通过乘法定理：