AtCoder Beginner Contest 280

D - Factorial and Multiple

数论

 

 首先上这道题需要的数论知识：

　　n!的素因子分解中，n!=p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ..... * pk^ak中

对于素因数pi，其对于的ai=n/pi+n/pi^2+n/pi^3+....直到n/pi^j==0为止

 证明如下：

　　对于 n!= 1* 2 * 3* 4 * ...... * n

　　其中的数可以表达成： 1 2 3 ...pi ....2pi....n1pi....n，用变量num来记录n!钟表pi的个数

其中　　n1*pi<=n  && (n1+1)*pi>n

那么现在明显的pi个数为 n1, 且有 n1= n/pi ,所以 ans+=n1;

 

　　但是可能 n1>=pi,即会有  原来的序列可以表达成：

　　1 2 3...pi...2pi...3pi...pi*pi...2*pi*pi....3pi*pi.....n2*pi*pi...n

其中 　　n2*pi*pi<=n && （n2+1）*pi>n

其实这里的n2*pi*pi==上面的n1*pi，只是n1=n2*pi，那么在原来已经求得ans=n1的基础上，ans+=n1/pi

 

　　但是还可能n2>=pi,接下来的操作与上面相同，像递归一样

于是有：

　　对于素因数pi，其对于的ai=n/pi+n/pi^2+n/pi^3+....直到n/pi^j==0为止

 题解：

然后再看题目

　　我们首先可以对K进行素数分解，O（sqrt(K)）

　　然后，对n进行二分求解，即l=1,r=k;进行二分查找，对于mid=(l+r)>>1,看一下mid！的全部素因数的幂 是否>=K的全部素因数的幂

如果>=说明 mid! % K==0，否则不是

 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e7;
ll k, t;
int pos = 0;
ll p[N], a[N];
bool check(ll mid)
{
    for (int i = 1; i <= pos; i++)
    {
        ll n = mid, prime = p[i], num = 0;
        while (n)
        {
            num += n / prime;
            n /= prime;
        }
        if (num < a[i])
            return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    cin >> k;
    ll l = 1, r = k, ans;
    for (ll i = 2; i * i <= k; i++)
    {
        if (k % i == 0)
        {
            p[++pos] = i;
            while (k % i == 0)
            {
                a[pos]++;
                k /= i;
            }
        }
    }
    if (k > 1)
    {
        p[++pos] = k;
        a[pos]++;
    }
    /*  for (int i = 1; i <= pos; i++)
         cout << p[i] << " " << a[i] << endl;
  */
    while (l <= r)
    {
        ll mid = (l + r) >> 1;
        if (check(mid))
        {
            ans = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else
            l = mid + 1;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}