C.Koxia and Number Theory goodbye2022

Koxia and Number Theory 题目链接

分部考虑问题：
1. $\gcd(a,a)=1$ 所以不能有两个相同的数字
2. 从奇偶出发如果有$\geq2$个奇数且有$\geq2$个偶数，那么就会寄掉，因为选x为奇或x为偶总会在一边出现$\mod2=0$的情况就会有$\gcd=2$
3. 那么如此就能想到一个推论：对于$\forall p$，如果对数组$a$取模后等于 ${0,1,...,p-1}$的个数都$\geq 2$ 则总会有一个$x$使得数组$a$中的两个数$\gcd \geq p$；
4. 所以对于每个质数$p$，均要去判定是否对数组$a$取模后等于 ${0,1,...,p-1}$的个数都$\geq 2$ 。这是必要条件；如果都出现了上面这种情况，那么一定无法满足输出$NO$。
5. 否则一定满足：

$$\begin{cases} x=p_{1}\mod2\\ x=p_{2}\mod3\\ x=p_{3}\mod5 \\ ... \end{cases}$$

我们可以解这个方程来得到满足条件的$x$；现在的$x$ 就满足了在对于任意质数$p$，都有 $$a_{i}+x=a_{j}+x=0\mod p$$ 不存在，也就是 $$\gcd(a_{i}+x,a_{j}+x)=1$$ 恒成立；（CRT即可求解此问题，模数都是质数）
6. 而求$\forall p$ 显然不现实,考虑简单的容斥原理可以想到当$p\geq\frac{n}{2}$时就必然不会塞满所有余数了；那么枚举到此即可。