增广路定理 简证

Part 1

一个网络流正在流动。

现在任意割断它，分成源点所在的S点集、汇点所在的T点集。

除了源点，其它点都没有实际输出，

除了汇点，其它点都没有实际获得，

所以，S到T的净输出 = 源点的输出 = 总流量。

所以，网络中任意一个割的净流 = 网络当前的总流量。

因为割的净流 <= 这个割的容量（显然），

所以网络总流量 = 此流量下任意一个割的净流 <= 这个割的容量，

所以任何一种网络流的总流量 <= 任意一个割（割的大小指的是割的容量）。

Part 2

如果一张网络它没有增广路了，

那么源点到汇点顺着“有残余容量的边”（残余网络）不能到达汇点。

现在，源点顺着残余网络能够到达的所有点，叫作点集S，

整张图其它点叫作点集T。

则S连向T的那些边没有残余容量。（否则，顺着此边流过去的点也是源点能到达的点，也属于点集S）

如果割掉这些边，

那么，此割的净流 = 此割的容量（因为没有残余容量）。

因为当前网络的流量 = 该流量下任意一个割的净流，

所以当前网络的流量 = 此割的容量。

因为任何一种网络流的流量 <= 任意一个割的容量，

所以，当前网络流就是上面一个不等式左右两边的交界，

即：任何一种网络流 <= 当前网络流 = 此割的容量 <= 任何一个割的容量。

所以这个网络流是网络最大流。而且此割是最小的一个割，最大流 = 最小割。