快速幂 & 取余运算 讲解
2018-8-28 更新
听说有这么一种算法能够
让计算机很快地求出\(a^b\)
暴力相乘的话，电脑要计算 \(b\) 次。用快速幂，计算次数在 \(log_2(b)\) 级别，很实用。
原理 I
(1)如果将 \(a\) 自乘一次，就会变成 \(a^2\) 。再把 \(a^2\) 自乘一次就会变成 \(a^4\) 。然后是 \(a^8\)…… 自乘 \(n\) 次的结果是 \(a^{2^{n}}\) 。对吧……
(2)\(a^xa^y = a^{x+y}\)，这个容易。
(3)将 \(b\) 转化为二进制观看一下：
比如 \(b = (11)_{10}\) 就是 \((1011)_{2}\) 。从左到右，这些 \(1\) 分别代表十进制的 \(8,2,1\)。可以说 \(a^{11} = a^8 × a^2 × a^1\)。
为什么要这样表示？因为在快速幂的过程中，我们会把 \(a\) 自乘为 \(a^2\)，然后 \(a^2\) 自乘为 \(a^4\)……像上面第一条说的。
过程会是这样：
（好长，可以不看，如果要阅读下面的模拟过程的话，要慢慢地看噢）
·假设我们拿到了 \(a\)，并且 \(b = 11\)。想求 \(a^{11}\)，但是又不想乘11次，有点慢。
·以电脑视角稍稍观察一下 \(b = 11\)，二进制下是 \(b = 1011\)。
·制作一个 \(base\)。现在 \(base = a\)，表示的是，\(a^1 = a\)。待会 \(base\) 会变的。
·制作一个 \(ans\)，初值 \(1\)，准备用来做答案。
while(b > 0)
{
·循环一。看，\(b\)（二进制）的最后一位是 \(1\) 吗？
是的。这代表 \(a^{11} = a^8 × a^2 × a^1\) 中的“ \(× a^1\) ”存在。所以 $ ans *= base $。
if(b & 1)
ans *= base;
/*关于 b & 1：
“&”美名曰“按位与”。
x & y 是二进制 x 和 y 的每一位分别进行“与运算”的结果。
与运算，即两者都为 1 时才会返回 1，否则返回 0。
那么 b & 1
二进制
b = 1011
1 = 0001
b&1 = 0001
因为 1（二进制）的前面几位全部都是 0，
所以只有 b 二进制最后一位是 1 时，b & 1 才会返回 1。
挺巧妙的，并且很快。)*/
·然后 \(base\) 努力上升，他通过自乘一次，使自己变成 \(a^2\)。
base *= base;
同时
b >>= 1;
它把（二进制的）自己每一位都往右移动了。原来的最后第二位，变成了最后第一位！\(b = (101)_2\)。
}
·循环二，再看看 \(b\)，最后一位还是 \(1\)。这说明有“ \(× a^2\) ”，\(ans *= base\)。
·\(base\) 继续努力，通过 \(base *= base\) 让自己变成了 \(a^4\)。然后 \(b\) 也右移
一位。\(b = 10\)。
·循环三，可是 \(b\) 的最后一位不再是 \(1\) 了，说明不存在“ \(× a^4\) ”。\(base\) 自我升华，达到了 \(a^8\)。且 \(b >>= 1\)。这一步中，答案没有增加，可是毕竟 \(b > 0\)，还有希望。
·循环四，\(b\) 的最后一位是 \(1\)，这说明“ \(×a^8\) ”的存在。$ ans *= base $。由于 \(b\) 再右移一位就是 \(0\) 了，循环结束。
总的来说，如果 \(b\) 在二进制上的某一位是 \(1\)，我们就把答案乘上对应的 \(a^{2^{n}}\)。不懂的话，请结合代码理解~
实现
int quickPower(int a, int b)//是求a的b次方
{
int ans = 1, base = a;//ans为答案，base为a^(2^n)
while(b > 0)//b是一个变化的二进制数，如果还没有用完
{
if(b & 1)//&是位运算，b&1表示b在二进制下最后一位是不是1，如果是：
ans *= base;//把ans乘上对应的a^(2^n)
base *= base;//base自乘，由a^(2^n)变成a^(2^(n+1))
b >>= 1;//位运算，b右移一位，如101变成10（把最右边的1移掉了），10010变成1001。现在b在二进制下最后一位是刚刚的倒数第二位。结合上面b & 1食用更佳
}
return ans;
}
原理 II
没错快速幂有很多种理解方式。
重新开始。若当前 \(p\) 为偶数，咱们不着急，只需把 \(x\) 自乘，然后 $ p /= 2$ （即考虑下一层，下几层会帮我们乘上 \((x^2)^{p/2}\)的）。
若当前 \(p\) 为奇数，说明 \(x^p = x*(x^2)^{(p-1)/2}\) 中前面那个 \(x\) 的存在，\(ans *= x\)。然后继续考虑下一层（下几层会帮我们乘上 \((x^2)^{(p-1)/2}\)的）。注意，这里的 \(x\) 不是指题目开始给出的 \(x\)，而是当前层的 \(x\) 应有的值，这跟上面的 \(base\) 是一样的。
也是稍稍模拟一下比较好理解。
·假设我们拿到了 \(x = 3\)，并且 \(p = 11\)。想求 \(3^{11}\)。
·第一层循环。\(b = 11\)，一个奇数。将 \(3^{11}\) 分解为 \(3^1 * (3^2)^5\) 来看。本层只需把 \(ans *= 3^1\)。那后面的呢？我们到下一层再搞定。下几层的总目标是让 \(ans *= (3^2)^5\)，也就是让 \(ans *= 9^5\)。来到下一层的方法是 \(x = 3*3 = 9\) 且 \(b = 11 / 2 = 5\)。
·第二层循环几乎独立于第一层存在。\(b = 5\)，一个奇数。将 \(9^{5}\) 分解为 \(9^1 * (9^2)^2\) 来看。本层只需把 \(ans *= 9^1\)。那后面的呢？我们到下一层再搞定。下几层的总目标是让 \(ans *= (9^2)^2\)，也就是让 \(ans *= 81^2\)。于是 \(x = 9*9 = 81\) 且 \(b = 5 / 2 = 2\)。
·第三层循环，\(b = 2\)，不是奇数，不着急，只把 \(81^2\) 当作 \((81^2)^1\)。下几层的总目标是让 \(ans *= (81^2)^1\)。于是 \(x = 81 * 81 = 6561\)，\(b = 2 / 2 = 1\)。
·第四层循环，\(b = 1\)，是奇数。这时候已经不用看成什么分解了，\(ans *= 6561\) 就可完成总目标。\(b / 2\) 为 \(0\)。结束循环。
代码和上面一样。因为 \(b \& 1\) 与 \(b \mod 2 == 1\) 等效。\(b /= 2\) 与 \(b >>= 1\) 等效。
取余运算
快速幂经常要结合取余运算。这里也讲一点。
取余运算有一些好用的性质，包括：
\((A+B) \mod b = (A \mod b + B \mod b) \mod b\)
\((A×B) \mod b = ((A \mod b) × (B \mod b)) \mod b\)
证明都很简单，如果要说服自己的话拿起笔试试吧。可设 \(A = k_A × b + R_A\)……
于是快速幂过程中可以
while(b > 0)
{
if(b & 1)
{
ans *= base;
ans %= m;
}
base *= base;
base %= m;
b >>= 1;
}
能保证这样下来最后的结果与“先乘到最后，再取余”的结果一样。
