[coci2015-2016 coii] Palinilap【字符串 哈希】

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进去之后点底下的那个。顺带说一句，题目既不是一个英文单词，也不是克罗地亚单词，估计只是从回文串的英文单词palindrome取出前5个字母，再反向复制一遍，造了一个回文串单词。

官方题解说的有点短小精悍，总之步骤就是这样子的：先统计一下原始串有几个回文子串。注意这里我用的是哈希+二分求的，manacher不知道可不可以，可能会很麻烦，因为后面的步骤是奇偶分开讨论的，这里仅仅考虑回文子串的长度为奇数的情况，偶数情况同理，只有一个地方有一点点小差别，后面我会标注（这个小差别葬送了我至少5个小时的调试时间！）。

先解释一下，后文的a[]数组就是我存取原串的数组。

那么现在只需求出，对于每个位置，这个位置的字母如果换成另外一个，会减少以及增加几个回文子串。先考虑增加几个。开一个数组inc[100005][26]，inc[i][j]表示第i个位置的字母换成字母j会新增几个回文子串。该怎么计算呢？假设当前正在计算以位置i为中心，可以向两边扩展的长度，按照哈希+二分的算法，当你的left == right时（left和right表示的是二分的上界以及下界），此时是能扩展的最大长度（在我的程序里面，这个长度是包括了第i个字符的，也就是说以i为中心的最长回文子串的左边界是i - left + 1，右边界是i + right - 1），再扩展一点点就会遇到字符不匹配的情况，因此我们就让这两个字符匹配，对应了题目要求的只能修改一个字符。这两个字符匹配后，就再哈希+二分一次，看一下能再匹配几个字符，假设包括修改的那个字符，一共多匹配了x个，那么就：

inc[i - left][a[i + left] - 'a'] += x;  //表示把第(i - left)位置的字符改成第(i + left)字符会新增x个回文子串

inc[i + left][a[i - left] - 'a'] += x;  //类似以上

现在就要求对于每个位置，如果该位置替换一个字母会导致减少几个回文子串，开个数组dec[100005]。举个例子，这里有一个回文串：

a b c d e f e d c b a

假设我们把第三位的'c'换掉，随便换成什么，比如说换成g：

a b g d e f e d c b a

那么这就减少了3个以'f'为中心的回文子串。因此对于一个当前位置i，以他为中心的最长扩展长度为left（就是哈希+二分的结果），如果位置j被替换成其它任意一个串:

①，如果i - left + 1 <= j <= i - 1，那么会减少(j - (i - left))个以位置i为中心的回文子串。所以要dec[j] += (j - (i - left))，代表j位置换了字符，会导致多减少了(j - (i - left))个回文子串。

②，如果i + 1 <= j <= i + left - 1，那么会减少((i + left) - j)个以位置i为中心的回文子串。

这里只考虑第①种情况，第②种同理。显然，不可能按照刚刚说的对于每个位置j都加一遍，这样子效率明显应对不过来。所以，对于当前位置i，(i - left)是一个定值，也就是说(j - (i - left))这个值，随着j的增大而增大，更具体的，是对dec数组的某一段加一个等差数列，比如刚刚那个例子，a b g d e f e d c b a, dec[1] += 1, dec[2] += 2, dec[3] += 3。也就是说，现在的任务就是要快速对一个数组（这里是dec[]数组）的某个区间加上一个以1为首项，1为公差的等差数列。类似差分数组，我们先构建两个辅助数组c1[100005], c2[100005]。

对于“dec[1] += 1, dec[2] += 2, dec[3] += 3”这个操作，我们可以先让区间[1, 3]每项各加1，再让区间[2, 3]各加1，再让区间[3, 3]各加1。按照差分数组的思想，应该要这么做：

       1    2    3    4    5

c2     +1             -1

c2          +1        -1

c2               +1   -1

然后再对c2数组求一次前缀和，存到dec里，那么就得到了dec[]的所有值。可是这样一来还不如刚刚的直接操作dec数组快，所以还需要借用一下c1数组。观察到c2数组里[1, 3]的位置都加了一次1，而4位置减了3，因此我们构建的c1数组，其前缀和就是c2数组！类比刚刚的思想，应该这么做：

       1    2    3    4    5

c1     +1             -1

c1                    -3   +3

对c1数组求前缀和，保存在c2里，再对c2数组求前缀和，保存在dec里，便得出了dec的所有的值，具体看代码里的incc与decc函数。

之前说回文子串如果有偶数长度，有点小特殊，这就特殊在，如果是奇数长度，那么中心字符被换成了另外一个字符，并不会影响以这个中心字符为中心的回文子串数量，而如果是偶数长度，中心字符有两个，比如a b c c b a，中心字符就是两个c，此时替换任意一个中心字符，会影响到以这两个中心字符为中心的回文子串数量，千万注意！最后，哈希的mod如果让他自然溢出unsigned long long，会被卡一个点，我与std用的都是1e9+7。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

const int maxn = 100005;
const long long base = 131, mod = 1000000007;

int n, mx, mx_id;
long long inc[maxn][26], dec[maxn], c1[maxn], c2[maxn], ori_ans, delta_ans;
char a[maxn];
long long poww[maxn], hash1[maxn], hash2[maxn];

inline long long get_hash1(int left, int right) {
	return ((hash1[right] - hash1[left - 1] * poww[right - left + 1]) % mod + mod) % mod;
}
inline long long get_hash2(int left, int right) {
	return ((hash2[left] - hash2[right + 1] * poww[right - left + 1]) % mod + mod) % mod;
}
inline void incc(int left, int right) {
	++c1[left];
	c1[right + 1] -= (right - left + 2);
	c1[right + 2] += (right - left + 1);
}
inline void decc(int left, int right) {
	++c1[right + 2];
	c1[left] += (right - left + 1);
	c1[left + 1] -= (right - left + 2);
}

int main(void) {
	freopen("palinilap.in", "r", stdin);
	freopen("palinilap.out", "w", stdout);
	scanf("%s", a + 1);
	n = strlen(a + 1);
	a[0] = '$';
	
	poww[0] = 1ull;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		poww[i] = poww[i - 1] * base % mod;
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		hash1[i] = (hash1[i - 1] * base + a[i]) % mod;
	}
	for (int i = n; i; --i) {
		hash2[i] = (hash2[i + 1] * base + a[i]) % mod;
	}
	
	int left, right, mid;
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		for (int j = i; j < i + 2; ++j) {
			left = 0;
			right = std::min(i, n - j + 1);
			while (left < right) {
				mid = (left + right + 1) >> 1;
				if (get_hash1(i - mid + 1, i) == get_hash2(j, j + mid - 1)) {
					left = mid;
				}
				else {
					right = mid - 1;
				}
			}
			ori_ans += (long long)left;
			
			if (left > 0) {
				if (i == j) {
					incc(i - left + 1, i - 1);
					decc(j + 1, j + left - 1);
				}
				else {
					incc(i - left + 1, i);
					decc(j, j + left - 1);
				}
			}
			
			if (i - left <= 0 || j + left > n) {
				continue;
			}
			long long & tem1 = inc[i - left][a[j + left] - 'a'];
			long long & tem2 = inc[j + left][a[i - left] - 'a'];
			int ori_left = left;
			right = std::min(i - left - 1, n - j - left);
			left = 0;
			while (left < right) {
				mid = (left + right + 1) >> 1;
				if (get_hash1(i - ori_left - mid, i - ori_left - 1) == get_hash2(j + ori_left + 1, j + ori_left + mid)) {
					left = mid;
				}
				else {
					right = mid - 1;
				}
			}
			tem1 += left + 1;
			tem2 += left + 1;
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		c2[i] = c2[i - 1] + c1[i];
		dec[i] = dec[i - 1] + c2[i];
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 0; j < 26; ++j) {
			if (j == a[i] - 'a') {
				continue;
			}
			delta_ans = std::max(delta_ans, inc[i][j] - dec[i]);
		}
	}
	++ori_ans;
	printf("%I64d\n", ori_ans + delta_ans);
	return 0;
}