bzoj1004 [HNOI2008]Cards【Burnside/Polya】

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一道好题，但并不是好在融合了三个“考点”（计数，背包dp，逆元），其实背包dp以及求逆元都是小事，重点在于如何计数。

输入数据给出的m种置换是无法构成一个置换群的，因为一个群的定义需要4个性质，即封闭性，结合律，单位元，逆元，根据题目的说法，已经符合了封闭性、结合律、逆元，但是没有单位元，所以需要先添加一个新的置换，对于每个i，a[i] = i。这个置换即为单位元，这样子就构成了置换群。

然后，为什么polya对于本题不适用呢？因为本题规定的颜色数量有限（绿色只有sg个，红色只有sr个，蓝色只有sb个）。若是每种颜色都不限数量的话，因为一个置换的轮换（“轮换”就是一个括号括起来的循环节）必须是同一种颜色，这样才能在置换完成后与置换前相同。然而本题颜色数量有限，怎么办呢？如之前所说，一个轮换必须是同一种颜色，那么我们可以把这个置换的所有轮换列出来，就象这样：

(1, 2, 3), (4, 6), (5, 7), (8, 9, 10, 11), (12)

令C(ai)为置换ai的轮换的数量，既然现在不能简单的3^C(ai) （3是三种颜色），那么就考虑在当前轮换下，有三种决策，一是染成绿色，二是染成红色，三是染成蓝色——这就是一个三维的01背包！之后就简单了，在最后的最后在乘一下置换数m的逆就好了。

#include <cstdio>
#include <cstring>

int n, m, p, sr, sb, sg, a[65][65], ans, f[25][25][25], siz[65], cnt;
char book[65];

inline int cal(int * cir) {
	memset(f, 0, sizeof f);
	f[0][0][0] = 1;
	memset(book, 0, sizeof book);
	cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (!book[i]) {
			++cnt;
			book[i] = 1;
			siz[cnt] = 1;
			for (int j = cir[i]; j != i; j = cir[j]) {
				book[j] = 1;
				++siz[cnt];
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= cnt; ++i) {
		for (int jr = sr; ~jr; --jr) {
			for (int jb = sb; ~jb; --jb) {
				for (int jg = sg; ~jg; --jg) {
					if (jr >= siz[i]) {
						f[jr][jb][jg] = (f[jr][jb][jg] + f[jr - siz[i]][jb][jg]) % p;
					}
					if (jb >= siz[i]) {
						f[jr][jb][jg] = (f[jr][jb][jg] + f[jr][jb - siz[i]][jg]) % p;
					}
					if (jg >= siz[i]) {
						f[jr][jb][jg] = (f[jr][jb][jg] + f[jr][jb][jg - siz[i]]) % p;
					}
				}
			}
		}
	}
	return f[sr][sb][sg];
}
inline int poww(int di, int mi) {
	int i, rt;
	for (i = 31; mi >> i & 1 ^ 1; --i);
	rt = di;
	for (--i; ~i; --i) {
		rt = rt * rt % p;
		if (mi >> i & 1) {
			rt = rt * di % p;
		}
	}
	return rt;
}

int main(void) {
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	scanf("%d%d%d%d%d", &sr, &sb, &sg, &m, &p);
	n = sr + sb + sg;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++j) {
			scanf("%d", a[i] + j);
		}
	}
	++m;
	for (int j = 1; j <= n; ++j) {
		a[m][j] = j;
	}
	
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		ans = (ans + cal(a[i])) % p;
	}
	printf("%d\n", ans * poww(m, p - 2) % p);
	return 0;
}