bzoj1233 [Usaco2009Open]干草堆tower 【单调队列dp】

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单调队列优化的第一题，搞了好久啊，跟一开始入手斜率优化时感觉差不多。。。

这一题想通了之后其实不是很难，主要是需要拐弯的地方有点点多，直接写正解叭~

首先，这一题要求的是最大叠多少层。可以这样想：最底层的长度越小，层数越高。尽管这不是很严格，不过还算是比较显然（但是根本就没往这上面想啊！），因为越窄，就会越高嘛。换句话说“最大能叠多少层”等价于“最底层长度最小为多少”！只要这个想通了，基本就差不多了。

倒着dp，f[i]为从第i到第n的干草堆都使用了，最底层的长度的最小值。s[i]是前缀和。那么dp方程是：

f[i] = min(s[j - 1] - s[i - 1]) (f[j] <= s[j - 1] - s[i - 1])

附加条件移项得，s[i - 1] <= s[j - 1] - f[j]，也就是说，s[j - 1] - f[j]越大，就越有可能作为决策。

裸的是O(N^2)。发现当j越小，s[j - 1] - s[i - 1]就会越小，所以应该取符合"s[i - 1] <= s[j - 1] - f[j]"这一条件的最小的j，这就用单调队列维护咯。当j < k时，若s[j - 1] - f[j] >= s[k - 1] - f[k]，则k一定不能作为决策，因为k比j大，对于“当j越小，s[j - 1] - s[i - 1]就会越小”这个条件已经不利了，它的s[k - 1] - f[k]还要更小，更不利了，果断舍弃。

答案要的是最多叠几层，用个g数组，g[i]表示从第i到第n的干草堆都使用了，最多叠几层。则g[i] = g[j] + 1，j就是对于f[i] = min(s[j - 1] - s[i - 1])的决策的那个j

#include <cstdio>

const int maxn = 100005;

int n, s[maxn], f[maxn], g[maxn], que[maxn], head, tail;

int main(void) {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", s + i);
        s[i] += s[i - 1];
    }
    
    que[tail++] = n + 1;
    for (int i = n; i; --i) {
        while (head < tail - 1 && s[i - 1] <= s[que[head + 1] - 1] - f[que[head + 1]]) {
            ++head;
        }
        f[i] = s[que[head] - 1] - s[i - 1];
        g[i] = g[que[head]] + 1;
        while (head < tail && s[i - 1] - f[i] >= s[que[tail - 1] - 1] - f[que[tail - 1]]) {
            --tail;
        }
        que[tail++] = i;
    }
    printf("%d\n", g[1]);
    return 0;
}