二分图相关结论

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二分图相关结论

最小点覆盖

点覆盖定义：点的集合 $S$，需要满足每一条边至少有一个端点在 $S$ 中。

最小点覆盖定义：点个数最少的集合 $S$。

可以证明，最小点覆盖的大小与最大匹配相等。

证明如下：

1、最小点覆盖 $\geq$ 最大匹配：

为了使得最大匹配的边被全部覆盖，至少需要大小为最大匹配的点来匹配。

2、最小点覆盖 $\leq$ 最大匹配：

可以构造一种方案，使得最小点覆盖为最大匹配：

从左侧未匹配的节点出发，按照匈牙利算法中增广路的方式走，即先走一条未匹配边，再走一条匹配边。由于已经求出了最大匹配，所以这样的「增广路」一定以匹配边结束，即增广路是不完整的。在所有经过这样「增广路」的节点上打标记。则最后构造的集合是：所有左侧未打标记的节点和所有右侧打了标记的节点。

首先，这个集合的大小等于最大匹配。左边未打标记的点都一定对应着一个匹配边（否则会以这个点为起点开始标记），右边打了标记的节点一定在一条不完整的增广路上，也会对应一个匹配边。假设存在一条匹配边左侧标记了，右侧没标记，左边的点只能是通过另一条匹配边走过来，此时左边的点有两条匹配边，不符合最大匹配的规定；假设存在一条匹配边左侧没标记，右侧标记了，那就会从右边的点沿着这条匹配边走过来，从而左侧也有标记。因此，每一条匹配的边两侧一定都有标记（在不完整的增广路上）或都没有标记，匹配边的两个节点中必然有一个被选中。

其次，这个集合是一个点覆盖。由于我们的构造方式是：所有左侧未打标记的节点和所有右侧打了标记的节点。假设存在左侧打标记且右侧没打标记的边，对于匹配边，上一段已经说明其不存在，对于非匹配边，右端点一定会由这条非匹配边经过，从而被打上标记。因此，这样的构造能够覆盖所有边。

最大独立集

独立集定义：满足两两之间没有边相连的点集。

最大独立集：选最多的点的独立集。

因为在最小点覆盖中，任意一条边都被至少选了一个顶点，所以对于其点集的补集，任意一条边都被至多选了一个顶点，所以不存在边连接两个点集中的点，且该点集最大。因此二分图中，最大独立集 $= n -$ 最小点覆盖。

其实也就是去掉最少的点及其连边，使得剩下的点之间没有边，去掉最小点覆盖的那些点一定最优。