Educational Codeforces Round 173 (Rated for Div. 2) E

CF2043E

题意

给定两个 $n\times m$ 的矩阵 $A$ 和 $B$（其中的整数介于 $0$ 和 $10^9$ 之间），可以对 $A$ 矩阵进行如下操作，问是否能变换为矩阵 $B$。

• $\&=$：选择两个整数 $i$ 和 $x \ (1 \leq i \leq n, x \geq 0)$，并将第 $i$ 行中的每个元素替换为 $x$ 与该元素 $\text{and}$ 运算的结果。
• $|=$：选择两个整数 $j$ 和 $x \ (1 \leq j \leq m, x \geq 0)$，并将第 $j$ 列中的每个元素替换为 $x$ 与该元素 $\text{or}$ 运算的结果。

数据范围：$1 \leq n, m \leq 10^3$，$1 \leq n \cdot m \times 10^3$。

做法

前置知识：差分约束系统。

按位考虑。在某一位的情况下考虑问题，操作等价替换为：

1、将某一行的元素全部变为 $0$；

2、将某一列的元素全部变为 $1$。

显然每一行 / 每一列均至多操作一次。

考虑给行、列操作定义执行顺序，则容易发现，若 $A$ 中某元素 $(i, j)$ 要从 $1$ 变为 $0$，等价于对行 $i$ 的操作一定要后于列 $j$，反过来也是类似。

那么，$A$ 中元素若需要修改，则等价于给两个变量确定一个大小关系。

这让我们联想到差分约束系统。

但实际上，就算 $A$ 中元素不需要修改，也可能需要满足某些变量之间的大小关系，具体来说：若 $A$ 在某位置上为 $0$ 且不需要修改，则需要考虑若该列修改过，那么该行的操作必须后于列 $j$，若列 $j$ 未操作，则无要求，反过来也是类似。

因此，对于是否操作过某行 / 某列打个标记，每次确定要修改某行 / 某列时也需判断该行 / 该列的其他元素是否额外增加了约束条件。

最后跑个 spfa 判断是否有负环即可。

时间复杂度：$\mathcal O\left(T\log X \cdot (n + m) nm \right)$（实际上远远到不了此上限）。

评测链接。