快速沃尔什变换（FWT）

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• 快速沃尔什变换（FWT）
• 前言
• 问题
• 做法
• 核心思想
• $\operatorname{or}$
• $\operatorname{and}$
• $\operatorname{xor}$
• 同或

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快速沃尔什变换（FWT）

前言

本文为个人学习笔记，大量参考了 oi-wiki 以及其他博客的内容。

问题

给定 $a, b$ 序列，求：

$$c_i = \sum_{i = j \oplus k} a_j b_k$$

其中，$\oplus = \operatorname{or} / \operatorname{and} / \operatorname{xor}$。

做法

核心思想

对于某种特定的 $\oplus$，找到序列 $FWT_a, FWT_b, FWT_c$ 分别对应序列 $a, b, c$，需要满足以下性质和要求：

1、$FWT_{c_i} = FWT_{a_i} \cdot FWT_{b_i}$；

2、需要在优秀的时间复杂度内进行 $a$ 和 $FWT_a$ 的变换。

下面一个一个符号来。

$\operatorname{or}$

$$FWT_{a_i} = \sum_{j, j | i = i} a_j \\ FWT_{a_i} \cdot FWT_{b_i} = \sum_{j, j | i = i} a_j \cdot \sum_{k, k | i = i} b_j = \sum_{j, k, (j | k) | i = i} (a_jb_k) = FWT_{c_i}$$

考虑 $a$ 和 $FWT_a$ 的变换，考虑分治处理，写出如下形式（$a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$）：

轮数	长度	$FWT_0$	$FWT_1$	$FWT_2$	$FWT_3$	$FWT_4$	$FWT_5$	$FWT_6$	$FWT_7$
1	1	$a_0$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$	$a_6$	$a_7$
2	2	$a_0$	$a_0 + a_1$	$a_2$	$a_2 + a_3$	$a_4$	$a_4 + a_5$	$a_6$	$a_6 + a_7$
3	4	$a_0$	$a_0 + a_1$	$a_0 + a_2$	$a_0 + a_1 + a_2 + a_3$	$a_4$	$a_4 + a_5$	$a_4 + a_6$	$a_4 + a_5 + a_6 + a_7$
4	8	$a_0$	$a_0 + a_1$	$a_0 + a_2$	$a_0 + a_1 + a_2 + a_3$	$a_0 + a_4$	$a_0 + a_1 + a_4 + a_5$	$a_0 + a_2 + a_4 + a_6$	$a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \\ a_4 + a_5 + a_6 + a_7$

容易写出以下代码，

inline void FWT_OR(int *A) {
    for (int len = 2; len <= (1 << n); len *= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i)
                A[i + len / 2] = (A[i] + A[i + len / 2]) % mod;
}

对于 $FWT_a$ 变换为 $a$，反着把 $FWT_a$ 数组转化为 $a$ 数组即可。

inline void IFWT_OR(int *A) {
    for (int len = (1 << n); len >= 2; len /= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i)
                A[i + len / 2] = (A[i + len / 2] - A[i]) % mod;
}

$\operatorname{and}$

$$FWT_{a_i} = \sum_{j, j \& i = i} a_j \\ FWT_{a_i} \cdot FWT_{b_i} = \sum_{j, j \& i = i} a_j \cdot \sum_{k, k \& i = i} b_j = \sum_{j, k, (j \& k) \& i = i} (a_jb_k) = FWT_{c_i}$$

$FWT_a$ 和 $a$ 的变换同上。

inline void FWT_AND(int *A) {
    for (int len = 2; len <= (1 << n); len *= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i)
                A[i] = (A[i] + A[i + len / 2]) % mod;
}

inline void IFWT_AND(int *A) {
    for (int len = (1 << n); len >= 2; len /= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i)
                A[i] = (A[i] - A[i + len / 2]) % mod;
}

$\operatorname{xor}$

这个比较难。

以下摘自 oi-wiki。

若我们令 $x\circ y$ 表示 $x\cap y$ 中 1 数量的奇偶性，即 $x\circ y=\text{popcnt}(x\cap y)\bmod 2$，那么容易有 $(x\circ y)\operatorname{xor} (x\circ z)=x\circ(y\operatorname{xor} z)$。

下证上式（$(x\circ y)\operatorname{xor} (x\circ z)=x\circ(y\operatorname{xor} z)$）：

只考虑 $x$ 的二进制中为 1 的位，$x\cap y$ 中 1 的数量 和 $x\cap z$ 中 1 的数量可以分成三个部分：

1、都有的数量 $A$

2、仅有 $y$ 有的数量 $B$

3、仅有 $z$ 有的数量 $C$

即证明：$((A + B) \bmod 2) \operatorname {xor} ((A + C) \bmod 2)= (B + C) \bmod 2$

显然，当 $A = B = C = 0$ 时上式成立，$A$，$B$，$C$ 增加 1 并不会改变上述等式。

$FWT[A]_i=\sum_{i\circ j=0}A_j-\sum_{i\circ j=1}A_j$，证明如下：

$$\begin{aligned} FWT[A]_iFWT[B]_i&=\left(\sum_{i\circ j=0}A_j-\sum_{i\circ j=1}A_j\right)\left(\sum_{i\circ k=0}B_k-\sum_{i\circ k=1}B_k\right) \\ &=\left(\sum_{i\circ j=0}A_j\sum_{i\circ k=0}B_k+\sum_{i\circ j=1}A_j\sum_{i\circ k=1}B_k\right)-\left(\sum_{i\circ j=0}A_j\sum_{i\circ k=1}B_k+\sum_{i\circ j=1}A_j\sum_{i\circ k=0}B_k\right) \\ &=\sum_{(j\oplus k)\circ i=0}A_jB_k-\sum_{(j\oplus k)\circ i=1}A_jB_k \\ &=FWT[C]_i \end{aligned}$$

inline void FWT_XOR(int *A) {
    for (int len = 2; len <= (1 << n); len *= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i) {
                A[i] = (A[i] + A[i + len / 2]) % mod;
                A[i + len / 2] = (A[i] - 2 * A[i + len / 2]) % mod;
            }
}

inline void IFWT_XOR(int *A) {
    for (int len = (1 << n); len >= 2; len /= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i) {
                A[i + len / 2] = 1ll * (A[i] - A[i + len / 2]) 
                                     * quick_pow(2, mod - 2) % mod;
                A[i] = (A[i] - A[i + len / 2]) % mod;
            }
}

同或

若我们令 $x\circ y$ 表示 $x\cup y$ 中 1 数量的奇偶性，即 $x\circ y=\text{popcnt}(x\cup y)\bmod 2$。

$FWT[A]_i=\sum_{i\circ j=0}A_j-\sum_{i\circ j=1}A_j$。