生成函数

目录

• 生成函数
• 普通生成函数（ordinary generating function，OGF）
• 封闭形式
• 斐波那契数列的生成函数
• 基本运算
• 加减
• 乘法
• 其他

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生成函数

普通生成函数（ordinary generating function，OGF）

定义序列 $a$ 的普通生成函数为：

$$F(x) = \sum_n a_n x^n$$

$a$ 既可以是有穷序列，也可以是无穷序列。

例子：

1、序列 $a=\langle 1,2,3\rangle$ 的 OGF 为 $1 + 2x + 3x^2$；
2、序列 $a=\langle 1,1, 1, \cdots\rangle$ 的 OGF 为 $\sum_{n=0}x^n$；

封闭形式

在运用生成函数的过程中，我们不会一直使用形式幂级数的形式，而会适时地转化为封闭形式以更好地化简。

例子：

1、序列 $a=\langle 1,1, 1, \cdots\rangle$ 的 OGF 的封闭形式为：

$$xF(x)+1=F(x) \\ F(x) = \frac{1}{1-x}$$

2、序列 $a=\langle a,a, a, \cdots\rangle$ 的 OGF 的封闭形式为：

$$xF(x)+a=F(x) \\ F(x) = \frac{a}{1-x}$$

3、序列 $a=\langle 1,p, p^2, \cdots\rangle$ 的 OGF 的封闭形式为：

$$pxF(x)+1=F(x) \\ F(x) = \frac{1}{1-px}$$

4、序列 $a=\langle \binom{m}{0},\binom{m}{1}, \binom{m}{2}, \cdots\rangle$ 的 OGF 的封闭形式为：

$$F(x)=\sum_{n=0}^m\binom{m}{n}x^n=(1+x)^m$$

斐波那契数列的生成函数

斐波那契数列定义为：

$$a_0=0 \\ a_1 = 1 \\ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} (n \geq 2)$$

斐波那契数列 $a=\langle 0, 1, 1, 2, \cdots\rangle$ 的 OGF 的封闭形式为：

$$F(x)=xF(x)+x^2F(x)+x \\ F(x) = \frac{x}{1-x-x^2}$$

现在需要额外思考的是，如何将 $F(x)$ 从封闭形式再一次转化为形式幂级数的形式，进而求出斐波那契的通项公式。

考虑求解一个待定系数的方程：

$$\frac{A}{1-ax}+\frac{B}{1-bx}= \frac{x}{1-x-x^2}$$

通分得到：

$$\frac{A-Abx+B-aBx}{(1-ax)(1-bx)} = \frac{x}{1-x-x^2}$$

待定项系数相等，我们得到：

$$\begin{cases} A+B=0\\ -Ab-aB=1\\ a+b=1\\ ab=-1 \end{cases}$$

解得：

$$\begin{cases} A=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ B=-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ b=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{cases}$$

得到斐波那契数列的通项公式：

$$\frac{x}{1-x-x^2}=\sum_{n\ge 0}x^n \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right)$$

基本运算

加减

考虑两个序列 $a,b$ 的普通生成函数，分别为 $F(x),G(x)$。那么有：

$$F(x)\pm G(x)=\sum_n (a_n\pm b_n)x^n$$

因此 $F(x)\pm G(x)$ 是序列 $\langle a_n\pm b_n\rangle$ 的普通生成函数。

乘法

考虑乘法运算，也就是卷积：

$$F(x)G(x)=\sum_n x^n \sum_{i=0}^na_ib_{n-i}$$

因此 $F(x)G(x)$ 是序列 $\langle \sum_{i=0}^n a_ib_{n-i} \rangle$ 的普通生成函数。

若令 $G(x) = \frac{1}{1-x}$，那么 $F(x)G(x)$ 所对应的序列为序列 $a$ 的前缀和序列。

其他

$x F(x)$ 对应的序列为序列 $a$ 右移一位后所对应的序列。

$\frac{F(x)-a_0}{x}$ 对应的序列为序列 $a$ 左移一位后所对应的序列。