扩展 KMP（Z 函数）

扩展 KMP（Z 函数）

下文用 \([a, b]\) 表示 \(s[a \to b]\)，\((l, r)\) 表示当前 \(r\) 最右的匹配段。

问题一

要解决的问题为：求出 \(z\) 函数，\(z(i) = \operatorname{LCP}(s[i, nS], s[1, nS])\)，其中 \(\operatorname {LCP}(a, b)\) 表示 \(a, b\) 的最长相同前缀。

考虑到 \([l, r] = [1, r - l +1]\) 所以 \(\forall i \in [l, r]\) 有 \([i, r] = [i - l + 1, r - l + 1]\)。

因此，求 \(z(i)\) 可以利用到 \(z(i - l + 1)\)，即 \(z(i) \geq \min\{ z(i - l + 1), r - i + 1\}\)。

分类讨论：

1. \(i \leq r\)
   1. 若 \(z(i - l + 1) < r - i + 1\) 则 \(z(i) = z(i - l + 1)\)；
   2. 若 \(z(i - l + 1) \geq r - i + 1\) 则令 \(z(i) = r - i + 1\) 然后往后扩展。
2. \(i > r\) 则令 \(z(i) = 0\) 然后向后扩展。

由此可以写出代码：

nS = strlen(s + 1);
l = 0, r = 0;
for (int i = 2; i <= nS; ++ i)
{
	if (i <= r && z[i - l + 1] < r - i + 1)
		z[i] = z[i - l + 1];
	else 
	{
		z[i] = std::max(r - i + 1, 0);
		while (i + z[i] <= nS && s[1 + z[i]] == s[i + z[i]])
			z[i] ++;
	}
	if (i + z[i] - 1 > r)
		l = i, r = i + z[i] - 1;
}

显然，外层循环只会循环 \(nS\) 次，而内层 while 循环每循环一次必使得 \(r\) 增大，\(r\) 顶多增大到 \(nS\)，故内层循环顶多进行 \(nS\) 次。

综上所述，时间复杂度为 \(\mathcal O(n)\)。

问题二

我们要解决的问题为：求 \(b\) 与 \(a\) 每一个后缀的 \(\operatorname{LCP}\)。

把 \(b + a\) 拼起来做就可以了。