扩展 KMP（Z 函数）

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扩展 KMP（Z 函数）

下文用 $[a, b]$ 表示 $s[a \to b]$，$(l, r)$ 表示当前 $r$ 最右的匹配段。

问题一

要解决的问题为：求出 $z$ 函数，$z(i) = \operatorname{LCP}(s[i, nS], s[1, nS])$，其中 $\operatorname {LCP}(a, b)$ 表示 $a, b$ 的最长相同前缀。

考虑到 $[l, r] = [1, r - l +1]$ 所以 $\forall i \in [l, r]$ 有 $[i, r] = [i - l + 1, r - l + 1]$。

因此，求 $z(i)$ 可以利用到 $z(i - l + 1)$，即 $z(i) \geq \min\{ z(i - l + 1), r - i + 1\}$。

分类讨论：

1. $i \leq r$
   1. 若 $z(i - l + 1) < r - i + 1$ 则 $z(i) = z(i - l + 1)$；
   2. 若 $z(i - l + 1) \geq r - i + 1$ 则令 $z(i) = r - i + 1$ 然后往后扩展。
2. $i > r$ 则令 $z(i) = 0$ 然后向后扩展。

由此可以写出代码：

nS = strlen(s + 1);
l = 0, r = 0;
for (int i = 2; i <= nS; ++ i)
{
	if (i <= r && z[i - l + 1] < r - i + 1)
		z[i] = z[i - l + 1];
	else 
	{
		z[i] = std::max(r - i + 1, 0);
		while (i + z[i] <= nS && s[1 + z[i]] == s[i + z[i]])
			z[i] ++;
	}
	if (i + z[i] - 1 > r)
		l = i, r = i + z[i] - 1;
}

显然，外层循环只会循环 $nS$ 次，而内层 while 循环每循环一次必使得 $r$ 增大，$r$ 顶多增大到 $nS$，故内层循环顶多进行 $nS$ 次。

综上所述，时间复杂度为 $\mathcal O(n)$。

问题二

我们要解决的问题为：求 $b$ 与 $a$ 每一个后缀的 $\operatorname{LCP}$。

把 $b + a$ 拼起来做就可以了。