manacher 算法

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manacher 算法

$\mathcal O(n)$ 求有关回文的字符串算法。

定义 $[l, r]$ 表示字符串下标 $l$ 到 $r$ 形成的子串。

流程

1. 将原字符串首、尾、中间分别插入奇怪字符（如 #，目的是计算中心点在两个字符之间的回文串），再在最前端插入另一奇怪字符串（如 @，目的是防止数组越界），eg. abcb 变为 @#a#b#c#b#。
2. 对每个位置记录 $p_i$ 表示在当前字符串以 $i$ 为回文中心的最大回文串为 $[i - p_i + 1, i + p_i - 1]$。
3. 考虑从前往后做，边做边记录两个值，分别为 $id, maxright$ 分别表示当前所有回文串中，右端点最大的回文串对应的回文中心以及右端点。显然这个可以边做边维护。
4. 考虑如何求 $p_i$，如果说 $maxright > i$，那么 $i$ 关于 $id$ 对称的 $j(i + j = 2 \times id \implies j = 2 \times id - i)$ 的信息我们是可以用到的（若 $i + p_j - 1$ 超出 $maxright$，则超出的那个部分不可取）。具体来说，如果 $maxright > i$，$p_i = \min(maxright - i+1, p_j)$，否则 $p_i = 0$。
5. 不断扩大 $p_i$，直到求出 $p_i$。

时间复杂度证明

1. 若 $p_i = maxright - i + 1$，则 $maxright$ 随着 $p_i$ 增大而增大。
2. 若 $p_i = p_j$，则 $p_i$ 不会再继续扩展。
3. 若 $p_i = 0$，则 $maxright$ 随着 $p_i$ 增大而增大。

故，$maxright$ 均会随着 $p_i$ 增大而增大，又考虑到 $maxright$ 最多增大 $n$ 次，故时间复杂度为 $\mathcal O(n)$。

回文串大小

根据 $p_i$ 的定义，其实对应到原串上，以 $i$ 为对称中心的最大的回文串长度为 $p_i-1$（可以分情况讨论，这里不展开）。

题目链接

#include <bits/stdc++.h>
const int N = 1.1e7 + 10;
int len, lenr;
char s[N], r[N * 2];
int p[N * 2], ans;
inline void manacher()
{
    int id = 0, maxright = 0;
    for (int i = 1; i <= lenr; ++ i)
    {
        if (maxright > i)
            p[i] = std::min(maxright - i + 1, p[id * 2 - i]);
        else p[i] = 0;
        while (r[i + p[i]] == r[i - p[i]])
            p[i] ++;
        if (i + p[i] - 1 > maxright)
        {
            id = i;
            maxright = i + p[i] - 1;
        }
        ans = std::max(ans, (p[i] - 1));
    }
}

int main()
{
    scanf("%s", s + 1);
    len = strlen(s + 1);
    r[0] = '@';
    for (int i = 1; i <= len; ++ i)
        r[i * 2 - 1] = '#', r[i * 2] = s[i];
    r[len * 2 + 1] = '#';
    lenr = len * 2 + 1;

    manacher();

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}