KM（Kuhn-Munkres Algorithm）

KM（Kuhn-Munkres Algorithm）

二分图最大权完美匹配。

问题引入

给定一张二分图，左右部均有 n 个点，共有 m 条带权边，且保证有完美匹配。

求一种完美匹配的方案，使得最终匹配边的边权之和最大。

定义

可行顶标

每个结点分配一个权值 l(i)，对于所有边 (u,v) 满足 w(u,v)≤l(u)+l(v)。

相等子图

包含所有点，但是只包含满足 w(u,v)=l(u)+l(v) 的边 (u,v) 的子图称作相等子图。

定理 1

对于某组可行顶标，如果其相等子图存在完美匹配，那么，该匹配就是原二分图的最大权完美匹配。

下文证明为了方便，默认左右部共有 2n 个点，编号为 1∼n 的认为是左部点，n+1∼2n 认为是右边部点。

证明如下：

考虑原二分图任意一组完美匹配 M，其边权和为：

val⁡(M)=∑(u,v)∈Mw(u,v)≤∑(u,v)∈M(l(u)+l(v))=∑i=12nl(i)

然而，对于任意一组可行顶标的相等子图的完美匹配 M′，其边权和为：

val⁡(M′)=∑(u,v)∈M′w(u,v)=∑(u,v)∈M′(l(u)+l(v))=∑i=12nl(i)

故，完美匹配 M′ 一定是该二分图的最大权完美匹配。

根据定理 1，我们有了一个简单的思路：

不断调整可行顶标，使得其相等子图存在完美匹配。又因为保证有完美匹配，所以，一定存在一组可行顶标使得其相等子图为完美匹配。

一些变量定义

lx(i) 表示左部点 i 的顶标，ly(i) 表示右部点 i 的顶标，w(u,v) 表示左部点 u 和右部点 v 之间的边权。

vx(i) 表示左部点 i 遍历标记，vy(i) 表示右部点 i 遍历标记。

px(i) 表示左部点 i 的匹配，py(i) 表示右部点 i 的匹配。

流程

假设此时左侧有点 x 在相等子图中的最大匹配中为非匹配点，从 x 开始尝试在相等子图中寻找增广路（由于是最大匹配了，所以肯定找不到），然后我们将访问到的左部点顶标减小 Δ，右部点顶标增大 Δ，考虑这样做的影响：

  1. 对于匹配边 (u,v)，显然，u,v 都会被 / 都不会被访问到，故 lx(u)+ly(v) 不变。
  2. 对于某个以访问到的左部点 u 为一端的非匹配边，由于 lx(u) 减小，故这条非匹配边可能加入到相等子图中。

故这么做既不会影响匹配边，还能将非匹配边加入相等子图，从而继续增广，而我们只要取 Δ 为所有左部的被访问到的点为一端的边 (u,v) 中最小的 lx(u)+ly(v)−w(u,v) 即可，这样，至少加入了一条边（若取其他值取到 min 的边会不满足顶标的性质）。

首先可以初始化左右部点的值：

lx(i)=max1≤j≤nw(i,j)ly(i)=0

每次加入一个左部点，按照上述在相等子图中进行增广，直到其加入最大匹配中。直接使用 DFS 实现的匈牙利算法，时间复杂度为 O(n4)。

#include <bits/stdc++.h>
const long long inf = 1e18;
const int N = 500 + 10;
int n, m, w[N][N];
bool exist[N][N];
long long lx[N], ly[N];
int py[N], px[N];
long long d; bool vx[N], vy[N];

inline bool dfs(int u)
{
    vx[u] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        if (exist[u][i] && ! vy[i])
        {
            if (lx[u] + ly[i] == w[u][i])
            {
                vy[i] = 1;
                if (! py[i] || dfs(py[i]))
                {
                    px[u] = i; py[i] = u;
                    return 1;
                }
            }
            else d = std::min(d, 1ll * lx[u] + ly[i] - w[u][i]);
        }
    return 0;
}
int main()
{
    std::cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= m; ++ i)
    {
        int u, v; std::cin >> u >> v;
        std::cin >> w[u][v];
        exist[u][v] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        lx[i] = - inf;
        for (int j = 1; j <= n; ++ j)
            if (exist[i][j])
                lx[i] = std::max(lx[i], 1ll * w[i][j]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        while (1)
        {
            memset(vx, 0, sizeof(vx));
            memset(vy, 0, sizeof(vy));
            d = inf;
            if (dfs(i)) break;
            for (int j = 1; j <= n; ++ j)
            {
                if (vx[j]) lx[j] -= d;
                if (vy[j]) ly[j] += d;
            }
        }
    }
    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        ans += lx[i] + ly[i];
    std::cout << ans << std::endl;

    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        std::cout << py[i] << ' ';
    return 0;
}

考虑优化，在每一次加入一个左部点，尝试增广时，模拟匈牙利算法求增广路的过程，对于右部每个点 v，记录 slack(v) 表示这一轮已经访问的左部点 u 中 min{lx(u)+ly(v)−w(u,v)} 的值。

当我们访问到一个左部点时，先用它更新所有右部点的 slack 值，接着取出右部 slack 最小的点，将其值设为 Δ，然后将当前已经访问到的左部点顶标减小 Δ，当前已经访问的右部点顶标增大 Δ，并更新 slack 数组。

下一个访问的左部点将是刚才取出的右部点的匹配点，这就是一个寻找增广路的过程，而当那个右部点是非匹配点时，我们已经找到了一条增广路。

重复上述过程，依次加入所有左部点，最后就求出了最小顶标和问题的解，也就是最大权完美匹配的方案。

#include <bits/stdc++.h>
const long long inf = 1e18;
const int N = 500 + 10;
int n, m, w[N][N];
bool exist[N][N];
long long lx[N], ly[N];
int px[N], py[N], pre[N];
long long slack[N];
bool vx[N], vy[N];
std::queue < int > Q;
inline void match(int v)
{
    int t = 0;
    while (v)
    {
        t = px[pre[v]];
        px[pre[v]] = v;
        py[v] = pre[v];
        v = t;
    }
}
inline void bfs(int s)
{
    memset(vx, 0, sizeof(vx));
    memset(vy, 0, sizeof(vy));
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        slack[i] = inf;
    while (Q.size()) Q.pop();
    Q.push(s);

    while (1)
    {
        while (Q.size())
        {
            int u = Q.front(); Q.pop();
            vx[u] = 1;
            for (int i = 1; i <= n; ++ i)
                if (exist[u][i] && ! vy[i])
                {
                    if (lx[u] + ly[i] - w[u][i] < slack[i])
                    {
                        slack[i] = lx[u] + ly[i] - w[u][i];
                        pre[i] = u;
                        if (slack[i] == 0)
                        {
                            vy[i] = 1;
                            if (! py[i])
                            {
                                match(i);
                                return;
                            }
                            else Q.push(py[i]);
                        }
                    }
                }
        }
        long long d = inf;
        for (int i = 1; i <= n; ++ i)
            if (! vy[i]) d = std::min(d, slack[i]);
        for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        {
            if (vx[i]) lx[i] -= d;
            if (vy[i]) ly[i] += d;
            else slack[i] -= d;
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++ i)
            if (! vy[i] && slack[i] == 0)
            {
                vy[i] = 1;
                if (! py[i])
                {
                    match(i);
                    return;
                }
                else Q.push(py[i]);
            }
    }
}
int main()
{
    std::cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= m; ++ i)
    {
        int u, v; std::cin >> u >> v;
        std::cin >> w[u][v];
        exist[u][v] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        lx[i] = - inf;
        for (int j = 1; j <= n; ++ j)
            if (exist[i][j])
                lx[i] = std::max(lx[i], 1ll * w[i][j]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        bfs(i);

    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        ans += lx[i] + ly[i];
    std::cout << ans << std::endl;

    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        std::cout << py[i] << ' ';
    return 0;
}

Reference

  1. OI-wiki
  2. ix35
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