【数论】0 / 1 分数规划

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0 / 1 分数规划

问题引入

我们要解决的是 $\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n a_i \times x_i}{\sum\limits_{i=1}^n b_i \times x_i}$，其中 $x_i \in \{0, 1\}$，要求让上述式子最大值。

分析

我们考虑转换问题，若 $\exists \ L$，满足 $\sum\limits_{i=1}^n x_i \times(a_i - b_i \times L) \geq 0$，那么 $\sum\limits_{i=1}^n x_i \times a_i \geq \sum\limits_{i=1}^n x_i \times b_i \times L$，此时，$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n a_i \times x_i}{\sum\limits_{i=1}^n b_i \times x_i}$ 的最大值一定 $\geq L$，若 $\nexists \ L$，满足 $\sum\limits_{i=1}^n x_i \times(a_i - b_i \times L) \geq 0$，那么 $\sum\limits_{i=1}^n x_i \times a_i < \sum\limits_{i=1}^n x_i \times b_i \times L$，此时，$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n a_i \times x_i}{\sum\limits_{i=1}^n b_i \times x_i}$ 的最大值一定 $< L$，我们发现这个 $L$ 是满足单调性的，于是我们可以二分这个 $L$。

现在问题就变为了如何判定是否存在 $x_i$ 满足 $\sum\limits_{i=1}^n x_i \times(a_i - b_i \times L) \geq 0$，这个很简单，当 $a_i - b_i \times L > 0$ 时，我们便让 $x_i = 1$，否则 $x_i = 0$。

于是这个问题就在 $\mathcal O(n \log \max{L})$ 解决了。

若限制 $x_i$ 为 $1$ 的个数为 $k$ 个，我们只需在 check 时求出所有的 $a_i - b_i \times L$，然后从大到小排序一遍，选取前 $k$ 个，判断是否 $\geq 0$ 即可。