【数论】[NOI2002]荒岛野人

首先根据题意，我们可以发现，两个野人 $i, j$ 会处在一个山洞当且仅当存在 $x$ 满足 $C_i+xP_i\equiv C_j+xP_j \ (\bmod M)$ （$M$ 为山顶数，$x$ 为年数）当然，野人在 $L_i$ 年后会死亡，故当最小正整数解 $x > L_i$ 且 $x > L_j$ 时，其实是不满足两个野人处在一个山洞的。那么本题要求的是没有两个野人会处在同一个山洞，即要找到最小的 $M$ 满足对于任意的 $i, j$，要么满足 $C_i+xP_i\equiv C_j+xP_j \ (\bmod M)$ 无解，要么满足 $C_i+xP_i\equiv C_j+xP_j \ (\bmod M)$ 的最小解 $> \min\{L_i, L_j\}$。

我们现在的问题就是解决 $C_i+xP_i\equiv C_j+xP_j \ (\bmod M)$ 这个式子，我们考虑把式子变换一下，$xP_i-xP_j\equiv C_j-C_i \ (\bmod M)$，$x(P_i-P_j)\equiv C_j-C_i \ (\bmod M)$，$x(P_i-P_j)+yM=C_j-C_i$。

这个是非常经典的问题，我们考虑使用扩展欧几里得来解决。

不会可以看 我的博客。

题目说明了输入数据保证有解，且 $M$ 不大于$10^6$。故我们考虑暴力枚举 $M$ 然后 $n^2$ 暴力枚举 $i, j$ 判断是否成立。最后最坏复杂度：$O(10^6\times n^2 \times \log(\max\{P_i, M\})$，但是考虑到根本卡不满，所以可以过。

还有一个小坑就是 $M$ 一定 $\geq max\{C_i\}$。

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