P4223 期望逆序对

首先，期望数乘上 \(\dbinom n2^k\) 后得到的就是所有方案的逆序对数之和。

任取两个位置 \(A, B(A < B)\)，不难看出其他任意位置对 \(A, B\) 而言都是等价的，把这些位置统称为 \(C\) 位置。

然后 \((A, B)\) 最终的样子只有以下七种形式：\((A, B), (A, C), (B, A), (B, C), (C, A), (C, B), (C, C)\)，把这七种形式从 \(1\) 到 \(7\) 编号。

设 \(f_j(i)\) 表示交换 \(i\) 次后形如第 \(j\) 种形式的方案数：

\(k \le 10^9\)，考虑矩阵优化，写出转移矩阵：

\[T = \begin{bmatrix} \binom{n - 2}2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ n - 2 & \binom{n - 2}2 + (n - 3) & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & \binom{n - 2}2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & n - 2 & \binom{n - 2}2 + (n - 3) & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & n - 2 & 0 & \binom{n - 2}2 + (n - 3) & 1 & 1 \\ n - 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & \binom{n - 2}2 + (n - 3) & 1 \\ 0 & n - 3 & 0 & n - 3 & n - 3 & n - 3 & \binom{n - 2}2 + 2(n - 4) + 1 \end{bmatrix} \]

则有：

\[T^k \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_1(i) \\ f_2(i) \\ f_3(i) \\ f_4(i) \\ f_5(i) \\ f_6(i) \\ f_7(i) \end{bmatrix} \]

其中 \(f_1(0) = 1, f_2(0) = f_3(0) = \dots = f_7(0) = 0\)。

然后我们开始枚举数对 \((i, j)(i < j)\)，若 \(a_i < a_j\)：

• \((A, B)\)，必然没有贡献。
• \((A, C)\)，\(C\) 在 \(A\) 前就有贡献，贡献为 \(\dfrac{i - 1}{n - 2} \times f_2(k)\)。
• \((B, A)\)，必然有贡献，贡献为 \(f_3(k)\)。
• \((B, C)\)，\(C\) 在 \(B\) 前且不是 \(A\) 就有贡献，贡献为 \(\dfrac{j - 2}{n - 2} \times f_4(k)\)。
• \((C, A)\)，\(C\) 在 \(A\) 后且不是 \(B\) 就有贡献，贡献为 \(\dfrac{n - i - 1}{n - 2} \times f_5(k)\)。
• \((C, B)\)，\(C\) 在 \(B\) 后就有贡献，贡献为 \(\dfrac{n - j}{n - 2} \times f_6(k)\)。
• \((C, C)\)，相对位置交换成 \((j, i)\) 且不在 \(A\) 或 \(B\) 就有贡献，贡献为 \(\dfrac 12 f_7(k)\)。

同理可推知 \(a_i > a_j\) 的具体情况。

套 BIT 优化以下，时间复杂度 \(\mathcal O(7^3\log k + n \log n)\)。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

constexpr int N = 5e5 + 10, MOD = 1e9 + 7, INV2 = 5e8 + 4;

int n, k, a[N];

struct Matrix {
    ll a[7][7];

    Matrix operator*(const Matrix &rhs) const {
        Matrix res; memset(res.a, 0, sizeof(res.a));
        for (int i = 0; i < 7; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++) {
                for (int k = 0; k < 7; k++) {
                    res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * rhs.a[k][j]) % MOD;
                }
            }
        }
        return res;
    }
} trans, fk;

struct BIT {
    ll c[N];

    void fix(int x, int val) {for (int i = x; i <= n; i += i & (-i)) c[i] += val;}

    ll query(int x) {ll res = 0; for (int i = x; i; i -= i & (-i)) res += c[i]; return res % MOD;}
} b1, b2, b3;

inline ll inv(ll base, int e = MOD - 2) {
    ll res = 1;
    while (e) {
        if (e & 1) res = res * base % MOD;
        base = base * base % MOD;
        e >>= 1;
    }
    return res;
}

signed main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
    cin >> n >> k; ll c2 = (1ll * (n - 2) * (n - 3) / 2) % MOD;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    trans = Matrix{{
        {c2, 1, 1, 0, 0, 1, 0},
        {n - 2, c2 + n - 3, 0, 1, 1, 0, 1},
        {1, 0, c2, 1, 1, 0, 0},
        {0, 1, n - 2, c2 + n - 3, 0, 1, 1},
        {0, 1, n - 2, 0, c2 + n - 3, 1, 1},
        {n - 2, 0, 0, 1, 1, c2 + n - 3, 1},
        {0, n - 3, 0, n - 3, n - 3, n - 3, c2 + 2 * (n - 4) + 1}
    }}, fk.a[0][0] = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) fk = trans * fk;
        trans = trans * trans;
        k >>= 1;
    }
    ll ans = 0, invn = inv(n - 2), f[8];
    for (int i = 1; i <= 7; i++) f[i] = fk.a[i - 1][0];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ll s1l = b1.query(a[i]), sil = b2.query(a[i]), snl = b3.query(a[i]), s1r = (b1.query(n) - s1l + MOD) % MOD, sir = (b2.query(n) - sil + MOD) % MOD, snr = (b3.query(n) - snl) + MOD % MOD;
        ans = (ans + s1r * f[1]) % MOD;
        ans = (ans + (sil + snr) * invn % MOD * f[2] % MOD) % MOD;
        ans = (ans + s1l * f[3]) % MOD;
        ans = (ans + (s1l * (i - 2) + s1r * (n - i)) % MOD * invn % MOD * f[4]) % MOD;
        ans = (ans + (snl + sir) * invn % MOD * f[5]) % MOD;
        ans = (ans + (s1l * (n - i) + s1r * (i - 2)) % MOD * invn % MOD * f[6]) % MOD;
        b1.fix(a[i], 1), b2.fix(a[i], i - 1), b3.fix(a[i], n - i - 1);
    }
    ans = (ans + 1ll * n * (n - 1) / 2 % MOD * f[7] % MOD * INV2) % MOD;
    cout << ans;
    return 0;
}