SOSDP

SOSDP ( Sum Over Subsets Dynamic Programming)，中文名子集 DP。

下面给个 common 的用法：

给定一个集合 \(S = \{a_0, a_1, \dots , a_{n - 1}\}\)，求：

\[\sum_{T \subseteq S} \sum_{a_i \in T} a_i \]

即 \(S\) 的子集和。

暴力做是 \(\mathcal O(3^n)\) 的，而用 SOSDP 可以把时间复杂度降至 \(\mathcal O(n2^n)\)。

\(\mathcal O(3^n)\)：

for (int S = 0; S < (1 << n); S++) {
    for (int T = S; T; T -= (T & -T)) sum += a[__builtin_ctz(T)];
}

\(\mathcal O(n2^n)\)：

设 \(f(S) = \sum\limits_{T \subseteq S} \sum\limits_{a_i \in T} a_i\)，则：

for (int i = 0; i < n; i++) f[1 << i] = a[i];
for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int S = 0; S < (1 << n); S++) if (S & (1 << i)) f[S] += f[S ^ (1 << i)];
}

核心思想是从枚举子集再枚举子集内的元素求和转化为枚举每个元素并统计其对某些子集的贡献。

由子集和也可推出超集和的 SOSDP 求法，设 \(f(T) = \sum\limits_{S \supseteq T} \sum\limits_{a_i \in S} a_i\)，则：

for (int i = 0; i < n; i++) f[1 << i] = a[i];
for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int S = 0; S < (1 << n); S++) if (!(S & (1 << i))) f[S] += f[S ^ (1 << i)];
}

SOSDP 不止局限于求解子集和或超集和，还可以求解许多子集（小推大）、超集（大推小）相关的问题，不是死的板子，重在思想。