P1291 [SHOI2002] 百事世界杯之旅

设现在已经买到 $m$ 个人的，一共有 $n$ 个人。

第一瓶买到新人的概率 $ = \frac{n - m}{n}$

第二瓶买到新人的概率 $ = \frac{m}{n} \times \frac{n - m}{n}$，前两瓶买到新人的概率 $ = \frac{n - m}{n} + \frac{m}{n} \times \frac{n - m}{n} = \frac{n - m}{n} (1 + \frac{m}{n})$

以此类推，第 $k$ 瓶买到新人的期望 $E = \frac{n - m}{n} [1 + 2\frac{m}{n} + 3(\frac{m}{n})^2 + \dots + k(\frac{m}{n})^{k - 1}]$

接下来开始漫长的推导：

\[\frac{m}{n} E = \frac{n - m}{n} [\frac{m}{n} + 2(\frac{m}{n})^2 + 3(\frac{m}{n})^3 + \dots + k(\frac{m}{n})^k] \\ (1 - \frac{m}{n}) E = \frac{n - m}{n} E = \frac{n - m}{n} [1 + \frac{m}{n} + (\frac{m}{n})^2 + (\frac{m}{n})^3 + \dots + k(\frac{m}{n})^k] \\ E = 1 + \frac{m}{n} + (\frac{m}{n})^2 + (\frac{m}{n})^3 + \dots + (k - 1)(\frac{m}{n})^{k - 1} + k(\frac{m}{n})^k \]

推到这，除掉最后的一项 $k(\frac{m}{n})^k$，$E$ 就是一个完美的等比数列。

别忘了，$k(\frac{m}{n})^k$ 是无限趋近于 $0$ 的，而 $k$ 又是无穷大的，因此，这一项就等于 $0$。

\[E = \frac{m}{n} + (\frac{m}{n})^2 + (\frac{m}{n})^3 + \dots + (k - 1)(\frac{m}{n})^{k - 1} \]

再根据等比数列求和公式可得：

\[S_E = 1 + \frac{m}{n} \times \frac{1 - (\frac{m}{n})^{k - 1}}{1 - \frac{m}{n}} = 1 + \frac{m}{n} \times \frac{1}{\frac{n - m}{n}} = 1 + \frac{m}{n} \times \frac{n}{n - m} = 1 + \frac{m}{n - m} = \frac{n}{n - m} \]

这里因为 $k$ 是无穷大的，那么 $k - 1$ 也是无穷大的，因此 $(\frac{m}{n})^{k - 1} = 0$，可忽略。

设 $f_i$ 表示买第 $i$ 个人（已经买了 $i - 1$ 个人）的期望值，由我们刚才推出来的结论，不难得出：

\[f_i = f_{i - 1} + \frac{n}{n - m} \]

在递推的过程中维护分子分母，最后再处理输出就好啦～

$Code:$

#include <bits/stdc++.h>

#define MAXN 40 

using namespace std;

typedef long long ll;

int n;

template<typename _T>
inline void read(_T &_x) {
  _x = 0;
  _T _f = 1;
  char _ch = getchar();
  while (_ch < '0' || '9' < _ch) {
    if (_ch == '-') _f = -1;
    _ch = getchar();
  }
  while ('0' <= _ch && _ch <= '9') {
    _x = (_x << 3) + (_x << 1) + (_ch & 15);
    _ch = getchar();
  }
  _x *= _f;
}

template<typename _T>
inline void write(_T _x) {
  if (_x < 0) {
    putchar('-');
    _x = -_x;
  }
  if (_x > 9) write(_x / 10);
  putchar('0' + _x % 10);
}

int count(ll x) {
  int res = 0;
  while (x) {
    res++;
    x /= 10;
  }
  return res;
}

int main() {
  read(n);
  ll a = n, b = n;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    a = a * (n - i + 1) + n * b;
    b *= (n - i + 1);
    int gcd = __gcd(a, b);
    a /= gcd, b /= gcd;
  }
  ll z = a / b;
  a %= b;
  if (!a) {
    write(z);
    return 0;
  }
  int cz = count(z), cb = count(b);
  for (int i = 1; i <= cz; i++) putchar(' '); write(a), putchar('\n');
  write(z); for (int i = 1; i <= cb; i++) putchar('-'); putchar('\n');
  for (int i = 1; i <= cz; i++) putchar(' '); write(b);
  return 0;
}