洛谷P3205[HNOI2010]-合唱队
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题目
题目描述
为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为 AAA 合唱队负责人的小 A 需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共 \(n\) 个人，第 \(i\) 个人的身高为 \(h_i\) 米\((1000 \le h_i \le 2000)\)，并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是 \(A\) 个人站成一排，为了简化问题，小 A 想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：
- 第一个人直接插入空的当前队形中。
- 对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高（\(h\) 较大），那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮（\(h\) 较小），那么将他插入当前队形的最左边。
当 \(n\) 个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。
例如，有 \(6\) 个人站成一个初始队形，身高依次为 \(1850, 1900, 1700, 1650, 1800, 1750\)。
那么小 A 会按以下步骤获得最终排出的队形：
- \(1850\)
- \(1850, 1900\)，因为 \(1900 > 1850\)。
- \(1700, 1850, 1900\)，因为 \(1700 < 1900\)。
- \(1650, 1700, 1850, 1900\)，因为 \(1650 < 1700\)。
- \(1650, 1700, 1850, 1900, 1800\)，因为 \(1800>1650\)。
- \(1750, 1650, 1700, 1850, 1900, 1800\)，因为 \(1750 < 1800\)。
因此，最终排出的队形是 \(1750, 1650, 1700, 1850, 1900, 1800\)。
小 A 心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形。
请求出答案对 \(19650827\) 取模的值。
格式
输入格式
第一行一个整数 \(n\)。
第二行 \(n\) 个整数，表示小 A 心中的理想队形。
输出格式
输出一行一个整数，表示答案 \(\bmod 19650827\) 的值。
样例
样例输入
4
1701 1702 1703 1704
样例输出
8
提示
对于 \(30 \%\) 的数据，\(n \le 100\)。
对于 \(100\%\) 的数据，\(n \le 1000\)。
题解
在认真读完题目和题解之后，显然可以发现这道题得用区间 \(DP\)。
知道了算法，我们来研究如何设计状态。
首先，由题目可知，每个人（第一个人就把他看作类人不明生物吧）入队的位置有且只有两种可能，即从左边入队和从右边入队（事实上第一个人位置的两种可能是同一个确定的位置）。
那么对于我们的答案来说，最后一个入队的人可能从左入队，即站在第一个位置；也可能站在队尾，即站在最后一个位置。所以之前提到的两种入队可能都会对最终的答案有贡献。
这时我们该怎么办？
如果一个 \(DP\) 解决不了问题，那我们就该动动脑筋想想新办法了。————————来两个 \(DP\)。
那么此时，我们可以设计出两个状态：
- \(f[i][j]\) 表示在理想队列中 \(i,i+1, \dots,j-1, j\) 这段区间中最后从左进来第 \(i\) 个人的方案数。
- \(g[i][j]\) 表示在理想队列中 \(i,i+1, \dots,j-1, j\) 这段区间中最后从右进来第 \(j\) 个人的方案数。
迈出了艰难的一步后，下一个难题紧接着来了：如何推导状态转移方程?
-
对于从左边入队的人来说，前一个人的位置有两种情况：要么是在 \(i+1\) 号位置，要么是在 \(j\) 号位置。但无论如何，前一个人的身高都会比当前的人的身高高 。
-
对于从右边入队的人来说，前一个人的位置同样有两种情况：要么是在 \(j-1\) 号位置，要么是在 \(i\) 号位置。同理，无论如何，前一个人的身高都要比当前的人的身高矮。
由此，我们就可以推出状态转移方程了：
if(h[i] < h[i+1])f[i][j] += f[i+1][j];
if(h[i] < h[j])f[i][j] += g[i+1][j];
if(h[j] > h[i])g[i][j] += f[i][j-1];
if(h[j] > h[j-1])g[i][j] += g[i][j-1];
接下来，我们离完美地解决这道题只差一个初值问题了。
由状态的定义，易知 \(f[i][i]=1\)。这里我默认第一个人都是从左进的，也可以让 \(g[i][i] = 1\)，但二者不能都为 \(1\)。正所谓鱼和熊掌不可兼得
上代码：
#include <cstdio>
#define N 1100
#define MOD 19650827
int n, h[N], f[N][N], g[N][N];
// f[i][j]表示在理想队列中i~j区间中最后进来的是i的方案数（最后一个人从左进）
// g[i][j]表示在理想队列中i~j区间中最后进来的是j的方案数（最后一个人从右进）
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &h[i]);
for(int i = 1; i <= n; i++) f[i][i] = 1;
for(int l = 1; l < n; l++)
{
for(int i = 1, j = i+l; j <= n; i++, j++)
{
if(h[i] < h[i+1])f[i][j] += f[i+1][j];
if(h[i] < h[j])f[i][j] += g[i+1][j];
f[i][j] %= MOD;
if(h[j] > h[i])g[i][j] += f[i][j-1];
if(h[j] > h[j-1])g[i][j] += g[i][j-1];
g[i][j] %= MOD;
}
}
printf("%d", (f[1][n]+g[1][n]) % MOD);
return 0;
}
