CodeForces - 28C Bath Queue 概率与期望

我概率期望真是垃圾……，这题搞了两个钟头……

题意

有\(n\)个人，\(m\)个浴室，每个浴室里有\(a_i\)个浴缸。每个人会等概率随机选择一个浴室，然后每个浴室中尽量平分到每个浴缸。问期望最长排队队伍长度是多少？

解题思路

我看网上的题解都是直接\(DP\)期望，然而本蒟蒻看不懂那个递推式是什么鬼……有没有\(dalao\)来解释一下啊……
付一下别人的题解，摘自https://www.cnblogs.com/LzyRapx/p/7692702.html
用状态$ dp[i][j][k] \(表示还剩\) i$ 间浴室，还剩 \(j\) 个人，之前最长队伍的长度为 \(k\) 的期望最长队伍长度。
那么状态转移方程为:

\[dp[i][j][k]=∑^m_{i=1}∑^n_{j=0}∑^n_{k=1}∑^j_{c=1}(dp[i−1][j−c][max(k,(c+a[i]−1)/a[i])]\times (i−1)^{j−c}/i^j \times (j,c)) \]

其中 \(c\) 是枚举当前去第 \(j\) 间浴室的人数。
那么答案就是$ dp[m][n][0]$ 。

----伪分割线----

下面是我自己的概率做法。
我们令\(dp[i][j][k]\)表示已经选了\(i\)个浴室，还剩\(j\)个人，最长长度为\(k\)的概率。注意下标意义的定义与上面的不一样。
那么我们可以得到状态转移方程：

\[dp[i+1][j-c][max(k, \frac{c+a[i+1]-1}{a[i+1]})] += dp[i][j][k]\times {j \choose c} / m^c \]

这里感谢\(PSCdalao\)帮我斧正这个方程，并阐述了为什么是除以\(m^c\)。
下面我们解释这个方程的意义。
现在在状态\(dp[i][j][k]\)，那么我们可以从剩下\(j\)个人中，选出\(c\)个。这时候下标就变为了\(dp[i+1][j-c][max(k, \frac{c+a[i+1]-1}{a[i+1]})]\)。而从前一个状态转到这一个方案的概率就是\({j \choose c} / m^c\)（从\(j\)个人中选\(c\)个，而这\(c\)个人本来可以有\(m^c\)种选法）。我们再来仔细看一下为什么是\(m^c\)而不是\((m-i)^c\)。
我们把n个人分到m个澡堂的某种分法的概率应当为

\[\frac{{n\choose p_1}{n-p_1\choose p_2}{n-p_1-p_2\choose p_3}...}{m^n} \]

然后我们拆开分别乘在每一步中，就成了

\[\frac{{n\choose p_1}}{m^{p_1}} \times \frac{{n-p_1\choose p_2}}{m^{p_2}} \times \frac{{n-p_1-p_2\choose p_3}}{m^{p_3}}... \]

所以就有方程中的“\(/m^c\)”。
同时，我们可以看出，我们同样可以先求出方案数，最后再除以\(m^c\)。（感谢\(DYTdalao\)提供这个好主意）

到这里，我们求出了概率。最后把每一个概率乘以长度，累加就好了。

不要问我精度问题，反正全部开\(double\)，然后什么都不管就可以了QwQ

参考程序

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int Maxn = 60;
int n, m, a[ Maxn ];
double dp[ Maxn ][ Maxn ][ Maxn ], C[ 60 ][ 60 ];

double Power( double x, int y ) {
	if( y == 0 ) return 1.0;
	double t = Power( x, y / 2 );
	t = t * t;
	if( y % 2 == 1 ) t = t * x;
	return t;
}

void init() {
	memset( C, 0, sizeof( C ) );
	C[ 0 ][ 0 ] = 1.0;
	for( int i = 1; i <= 50; ++i ) {
		C[ i ][ 0 ] = 1.0;
		for( int j = 1; j <= i; ++j ) C[ i ][ j ] = C[ i - 1 ][ j - 1 ] + C[ i - 1 ][ j ];
	}
	return;
}

int main() {
	init();
	memset( dp, 0, sizeof( dp ) );
	scanf( "%d%d", &n, &m );
	dp[ 0 ][ n ][ 0 ] = 1.0;
	for( int i = 1; i <= m; ++i ) scanf( "%d", &a[ i ] );
	for( int i = 0; i < m - 1; ++i ) 
		for( int j = 0; j <= n; ++j ) 
			for( int k = 0; k <= n; ++k )
				for( int c = 0; c <= j; ++c ) 
					dp[ i + 1 ][ j - c ][ max( k, ( c + a[ i + 1 ] - 1 ) / a[ i + 1 ] ) ] += 
						dp[ i ][ j ][ k ] * C[ j ][ c ] / Power( m * 1.0, c );
	for( int j = 0; j <= n; ++j )
		for( int k = 0; k <= n; ++k ) 
			dp[ m ][ 0 ][ max( k, ( j + a[ m ] - 1 ) / a[ m ] ) ] += dp[ m - 1 ][ j ][ k ] * 1.0 / Power( m * 1.0, j );
	double ans;
	for( int i = 0; i <= n; ++i )
		ans += i * dp[ m ][ 0 ][ i ];
	printf( "%.10lf\n", ans );
	return 0;
}