从基础数论函数说起3：莫比乌斯反演
前置条件
分析
在从基础数论函数说起1：整除分块、数论函数、狄利克雷卷积的最后，提到了 \(e=\mu * 1\) 。
也就是说，在狄利克雷卷积意义下， \(\mu\) 和 \(1\) 互为逆元。
那么如果要求 \(f(n)\) ，而 \(g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\) 其中的 \(g(n)\) 能够非常方便地求出。可以看做 \(g=f*1\) 。两边同乘 \(\mu\) ，得到 \(f=\mu * g\) 。即
\[g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\,\,\Rightarrow\,\, f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(\frac{n}{d}) g(d)
\]
这被称为 因数反演 。
同样的，还有 倍数反演 。
\[g(n)=\sum\limits_{n|d} f(d) \,\,\Rightarrow\,\, f(n)=\sum\limits_{n|d} \mu(\frac{d}{n})g(d)
\]
感觉不是很会正向推导。那就只能暴力证明一波了：
\[\sum\limits_{n|d}\mu\left(\frac{n}{d}\right)g(d)=\sum\limits_{k}\mu(k)g(nk)=\sum\limits_{k}\mu(k)\left(\sum\limits_{nk|t}f(t)\right)=\sum\limits_{t}f(t)\left(\sum\limits_{nk|t}\mu(k)\right)=\sum\limits_{t}f(t)e\left(\frac{t}{n}\right)=f(n)
\]
推荐题目
更多
既然提到了反演，那么还有另外两种反演值得一看。具体地以后再分析。
二项式反演
\[f(n)=\sum\limits_{i=0}^n {n\choose i}g(i)\,\,\Rightarrow\,\, g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i} f(i)
\]
也可以写成
\[f(n)=\sum\limits_{i=0}^n (-1)^i {n\choose i}g(i) \,\,\Rightarrow\,\, g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}f(i)
\]
斯特林反演
\[f(n)=\sum\limits_{i=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}g(i) \,\,\Rightarrow\,\, g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right]f(i)
\]
