概率论(离散型)极简入门

目录

• 古典概型
• 条件概率
• 全概率公式
  • 完备事件组
  • 全概率公式
  • 逆概率公式
• 伯努利概型
• 随机变量
  • 一些离散变量的分布
• 随机变量的数字特征
  • 数学期望
  • 方差

古典概型

定义

\[P(A)=\frac{m}{n} \]

m：A包含的基本事件数。

n：总基本事件数

基本事件：样本空间中不可再分的最小事件。

符号

\(\Omega\) 表示样本空间。\(\Phi\) 表示不可能事件。\(\overline {A}\) 表示 \(A\) 事件的对立面， \(AB\) 表示事件 \(A\) 和 \(B\) 同时发生。

几个公式

\[P(A)=1-P(\overline A) \]

说明：事件\(A\)发生的概率就是\(1-\)事件\(A\)的对立事件发生的概率。

\[P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) \]

说明：事件\(A\)或\(B\)发生的概率是事件\(A\)发生的概率加上事件\(B\)发生的概率减去事件\(A\)和\(B\)同时发生的概率。（容斥原理）

\[P(A_1+A_2+...+A_n)=\sum_{i=1}^nP(A_i)-\sum_{1\leqslant i < j \leqslant n} P(A_iA_j)+\sum_{1\leqslant i<j<k\leqslant n} P(A_iA_jA_k)...+(-1)^{n-1}P(\Pi_{i=1}^nA_i) \]

说明：为上一条的推广，同样是容斥原理。

如果\(A\)与\(B\)互不相容（\(AB=\Phi\)），那么\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)

说明：为第一条的特殊情况。因为\(A\)与\(B\)互不相容，所以\(P(AB)\)为\(0\)。

如果\(A\)与\(B\)相互独立，那么\(P(AB)=P(A)\times P(B)\)

条件概率

\(P(B|A)\)表示\(A\)发生的情况下，\(B\)发生的概率。

显然，我们有：

\[\begin{aligned} P(AB) &= P(A)P(B|A)\\ &=P(B)P(A|B) \end{aligned} \]

等价于

\[P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} \]

如果\(A\)与\(B\)相互独立，那么

\[\begin{aligned} & P(AB)=P(A)P(B) \\ \Leftrightarrow & P(A|B)=P(A) \\ \Leftrightarrow & P(B|A)=P(B) \end{aligned} \]

全概率公式

完备事件组

完备事件组是这样一组事件\(A_i(i=1...n)\)：

\[\bigcup_{i=1}^nA_i=\Omega,\forall i \neq j, A_iA_j=\Phi \]

简而言之，完备事件组就是对样本空间的一个划分。

全概率公式

在完备事件组\(A_i\)下，有全概率公式：

\[P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i) \]

感性理解即可。

逆概率公式

\[P(A_i|B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum P(A_i)P(B|A_i)} \]

这个感觉不好理解，但是挺有用的。

伯努利概型

\(n\)次独立重复实验，如果事件\(A\)发生的概率为\(p\)，那么事件\(A\)恰好发生\(k\)次的概率是

\[P_n(k)={n \choose k}p^k(1-p)^k \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (k=0,1,...,n) \]

随机变量

我们给一个事件\(\omega \in \Omega\)赋值为\(X(\omega)\)（简写为\(X\)），那么\(X\)就是随机变量。

分布列

\(X\)	\(x_1\)	\(x_2\)	\(\cdots\)	\(x_n\)
\(P\)	\(p_1\)	\(p_2\)	\(\cdots\)	\(p_n\)

分布律

\(P(X=x_i)=p_i\)

显然，有\(p_i\geqslant 0, \sum p_i=1\)。

分布函数

\[F(X)=P(x \leqslant X) \]

一些离散变量的分布

二项分布\(X\sim B(n,p)\)

\[P(x=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (k=0,1,...,n)$ \]

两点分布:两点分布是二项分布\(n =1\)的情况。

泊松分布\(X\sim \Pi(\lambda)\)

\[P(x=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (k=0,1,2,...) \]

泊松分布适用于稀疏概率事件。

几何分布\(X\sim G(p)\)

实验恰好在第\(k\)次第一次成功的概率（前\(k-1\)次失败）。

\[P(x=k)=(1-p)^{k-1}p \]

超几何分布\(X\sim H(n, N_1, N)\)

\[P(x=k)=\frac{{N_1 \choose k}{N-N_1 \choose n - k}}{N \choose n} \,\,\,\,\,\,\,\,\, k=0,1,...,min(n,N1) \]

超几何分布可以这样理解：从\(N\)个黑色（\(N_1\)个）或白色的球中随机抽取\(n\)个球恰有\(k\)个为黑的概率。当\(N\gg n\)时，近似于二项分布。

随机变量的数字特征

数学期望

由于数学期望涉及级数的问题，这里不过多解释。

二项分布\(E(x)=np\)

两点分布\(E(x)=p\)

泊松分布\(E(x)=\lambda\)

几何分布\(E(x)=\frac{1}{p}\)

期望的一些公式：

\[E(x)=\sum x_ip_i\\ E(c)=c\\ E(kx+b)=kE(x)+b\\ E(x\pm y)=E(x)\pm E(y) \\ E[f(x)]=\sum f(x_i)p_i \]

如果\(x\),\(y\)独立，还有\(E(xy)=E(x)E(y)\)

方差

方差\(D(x)=E[(x-E(x))^2]=E(x^2)-(E(x))^2=\sum x_i^2p_i - (\sum x_i p_i) ^2\)

二项分布\(D_x=np(1-p)\)

泊松分布\(D_x=\lambda\)

几何分布\(D_x=\frac{1-p}{p^2}\)

方差性质：\(D(c)=0\)，\(D(x+c)=D(x)\)，\(D(cx)=c^2D(x)\)，\(D(x\pm y)=D(x)+D(y)\)，\(D(x)=0\Leftrightarrow P(x=c)=1\)