Link-Cut Tree（LCT） 教程
前置知识
请先对树链剖分和Splay有所了解。LCT基于树链剖分，而本文的数据结构采用Splay。
介绍
注意：请务必分清原树和我们操作的树。
以下图片参考Yang Zhe的论文
假设原来有这么一棵树：
我们把它剖分成这样子：
红色表示重边，黑色表示轻边。
我们考虑用Splay维护每条重链上的信息。我们规定Splay的中序遍历结果是按点的深度从小到大的。所以同一深度的两个点不可能在同一个Splay中。然后我们发现，轻边连接的深度较大的点一定为一个Splay中深度最浅的点。于是，我们让一个Splay的根的Father表示这颗Splay中深度最小的点在原树中的父亲，其余的Father表示它们在Splay中的父亲。然后我们可以考虑一下操作：
Access
Access(x)的作用是将x到根的路径变成一条重链。对于例子里的Access(N)之后就是这样：
至于为什么Access(N)要把N-O变成轻边，这是为了其他操作方便考虑，我们令Access(x)之后，x是它所在的重链中深度最深的点。
所以Access(x)的过程大概可以这样子：
1、X表示当前要往上连的节点，Last表示要连过来的节点。Last一开始为0。
2、将X旋转到它所在的Splay的根，断开右子树，这样X就是Splay中在原树中深度最大的点了。
3、连接X和Last。
4、如果X不为原树的根，Last=X, X = Father[ X ]，跳到第二步。
大家可一画个图感受一下QwQ。
所以Access可以这样写：
void Access( int x ) {
for( int Last = 0; x; Last = x, x = Father[ x ] ) {
Splay( x );//将x旋转到当前Splay的根。
Child[ x ][ 1 ] = Last;//断开右儿子并且连接Last和x。
Collect( x );//重新获取信息
}
return;
}
FindRoot
FindRoot(x)返回的是x在原树中的根。我们联通x与根节点后，找Splay中最左边的就可以了。
int FindRoot( int x ) {
Access( x );
Splay( x );
TagDown( x );//为了正确性，不要忘记下传标记。
while( Child[ x ][ 0 ] ) {
x = Child[ x ][ 0 ];
TagDown( x );
}
Splay( x );//保证Cut正确性
return x;
}
MakeRoot
MakeRoot(x)表示把x置为原树的根。我们首先Access(x)，这样就有一条从根到x的路径了。然后可以Splay(x)后翻转这颗Splay，这样x就变成原树的根了（深度最小）。
所以MakeRoot可以这样写：
void MakeRoot( int x ) {
Access( x );
Splay( x );
Tag[ x ] ^= 1;//标记翻转
return;
}
Split
Split(x,y)提取出原树中从x到y的一条链。由于Splay中不允许存在深度相同的点。所以我们这样操作：
首先MakeRoot(x)，使x变成原树的根，然后Access(y)即可。为了操作方便，最后Splay(y)。
void Split( int x, int y ) {
MakeRoot( x );
Access( y );
Splay( y );
return;
}
Link
Link(x,y)表示连接点x和y。
我们先把x变成根，如果y个根是x，那么就不需要连了，否则令Father[ y ] = x。
由于FindRoot(y)中，y已经变成了Splay中的根，所以这样操作是可以的。
void Link( int x, int y ) {
MakeRoot( x );
if( FindRoot( y ) == x ) return;
Father[ x ] = y;
return;
}
Cut
Cut(x, y)表示断开边x-y。
同样的，我们先MakeRoot(x)。然后我们要看边x-y是否存在。首先要满足FindRoot(y)=x。同样的，FindRoot后，y变成了Splay的根。然后我们要判断Father[ y ] = x。这样还不够，Child[ y ][ 0 ]也必须是空的才行，我们要保证y是直接与x相连的。
所以Cut可以这样写：
void Cut( int x, int y ) {
MakeRoot( x );
if( FindRoot( y ) != x || Father[ y ] != x || Child[ y ][ 0 ] != 0 ) return;//判断是否可以删。
Father[ y ] = Child[ x ][ 1 ] = 0;//断开连接。
Collect( x );//重新修改要维护的值。
return;
}
到此，LCT的基本操作就结束了。
关于Splay中操作的一点说明：
涉及到与一般Splay操作不同的有几个点：
1、所有Splay操作都是旋转到根，所以Splay操作只需传入一个参数。Splay前需要处理标记，注意从上往下操作。
2、每一棵Splay的根节点的Father代表该Splay中原树中深度最小点的Father，而不是NULL，所以有如下问题需要注意：
1、Rotate时候需要考虑父亲节点是否为当前节点的根。如果是，那么就不能更改祖父节点的儿子信息，因为祖父节点在另外一颗Splay中。
２、Splay的时候判断是否为根，不是简单地判断父亲是否为空。因为根的父亲指向另一棵Splay。
判断是否为当前Splay的根可以这样写：
bool IsRoot( x ) {
return Child[ Father[ x ] ][ 0 ] == x || Child[ Father[ x ] ][ 1 ] == x;
}
3、上述程序片段中涉及到Collect和TagDown，视具体题目而定。
模板
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Maxn = 300010;
int Father[ Maxn ], Child[ Maxn ][ 2 ], Tag[ Maxn ], Sum[ Maxn ], Value[ Maxn ];
int n, m;
int Stack[ Maxn ], Num;
void Read() {
scanf( "%d%d", &n, &m );
for( int i = 1; i <= n; ++i ) {
int x; scanf( "%d", &x );
Father[ i ] = 0;
Child[ i ][ 0 ] = Child[ i ][ 1 ] = 0;
Tag[ i ] = 0;
Sum[ i ] = Value[ i ] = x;
}
return;
}
void Collect( int Index ) {
Sum[ Index ] = Sum[ Child[ Index ][ 0 ] ] ^ Sum[ Child[ Index ][ 1 ] ] ^ Value[ Index ];
return;
}
void TagDown( int x ) {
if( Tag[ x ] ) {
Tag[ x ] = 0;
swap( Child[ x ][ 0 ], Child[ x ][ 1 ] );
Tag[ Child[ x ][ 0 ] ] ^= 1;
Tag[ Child[ x ][ 1 ] ] ^= 1;
}
return;
}
bool IsRoot( int x ) {
return !( ( Child[ Father[ x ] ][ 0 ] == x ) || ( Child[ Father[ x ] ][ 1 ] == x ) );
}
void Rotate( int C ) {
int B = Father[ C ];
int A = Father[ B ];
int Tag = Child[ B ][ 1 ] == C;
if( !IsRoot( B ) ) Child[ A ][ Child[ A ][ 1 ] == B ] = C;
Father[ C ] = A;
Father[ Child[ C ][ Tag ^ 1 ] ] = B;
Child[ B ][ Tag ] = Child[ C ][ Tag ^ 1 ];
Child[ C ][ Tag ^ 1 ] = B;
Father[ B ] = C;
Collect( B ); Collect( C );
return;
}
void Splay( int x ) {
Num = 0;
Stack[ ++Num ] = x;
int t = x;
for( ; !IsRoot( t ); t = Father[ t ] ) Stack[ ++Num ] = Father[ t ];
for( int i = Num; i >= 1; --i ) TagDown( Stack[ i ] );
while( !IsRoot( x ) ) {
int y = Father[ x ];
int z = Father[ y ];
if( !IsRoot( y ) )
if( ( Child[ z ][ 0 ] == y ) ^ ( Child[ y ][ 0 ] == z ) )
Rotate( x );
else
Rotate( y );
Rotate( x );
}
Collect( x );
return;
}
void Access( int x ) {
for( int i = 0; x; i = x, x = Father[ x ] ) {
Splay( x );
Child[ x ][ 1 ] = i;
Collect( x );
}
return;
}
void MakeRoot( int x ) {
Access( x );
Splay( x );
Tag[ x ] ^= 1;
return;
}
int FindRoot( int x ) {
Access( x ); Splay( x );
TagDown( x );
while( Child[ x ][ 0 ] ) {
x = Child[ x ][ 0 ];
TagDown( x );
}
Splay( x );
return x;
}
void Split( int x, int y ) {
MakeRoot( x );
Access( y );
Splay( y );
return;
}
void Link( int x, int y ) {
MakeRoot( x );
if( FindRoot( y ) == x ) return;
Father[ x ] = y;
return;
}
void Cut( int x, int y ) {
MakeRoot( x );
if( FindRoot( y ) != x || Child[ y ][ 0 ] || Father[ y ] != x ) return;
Father[ y ] = Child[ x ][ 1 ] = 0;
Collect( x );
return;
}
int main() {
Read();
for( int i = 1; i <= m; ++i ) {
int Opt, x, y; scanf( "%d%d%d", &Opt, &x, &y );
if( Opt == 0 ) {
Split( x, y );
printf( "%d\n", Sum[ y ] );
}
if( Opt == 1 ) Link( x, y );
if( Opt == 2 ) Cut( x, y );
if( Opt == 3 ) {
Splay( x );
Value[ x ] = y;
}
}
return 0;
}
