高斯消元/矩阵树定理学习记录
高斯消元
模板 luogu P3389
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-6;
const int N=100+5;
double a[N][N];
int n;
int gauss(){
int c,r;
for(c=1,r=1;c<=n;++c){
int t=r;
for(int i=r;i<=n;++i){
if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])){
t=i;
}
}//选最大的（提高精度+将0交换到下面）
if(fabs(a[t][c])<eps) continue;
for(int i=c;i<=n+1;++i) swap(a[t][i],a[r][i]);//交换到上部
for(int i=n+1;i>=c;--i) a[r][i]/=a[r][c];//行首行列式数值变成1
for(int i=r+1;i<=n;++i){
if(fabs(a[i][c])>eps){
double d=a[i][c];
for(int j=n+1;j>=c;--j){
a[i][j]-=a[r][j]*d;
}
}
}
++r;
}
if(r<=n){
for(int i=r;i<=n;++i){
if(fabs(a[i][n+1])>eps){
return 2;//无解
}
}
return 0;//没有唯一解
}
for(int i=n;i>0;--i){
for(int j=i+1;j<=n;++j){
a[i][n+1]-=a[j][n+1]*a[i][j];
}
}
return 1;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=n+1;++j){
scanf("%lf",&a[i][j]);
}
}
if(gauss()!=1){
for(int i=1;i<=n;++i){
printf("%.2lf\n",a[i][n+1]);
}
}else{
puts("No Solution");
}
return 0;
}
ICPC2020 Jinan
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200+5;
int a[N][N],b[N][N];
int m[N][N];
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
ll qpow(ll a,ll p){
if(p==0){
return 1;
}else if(p==1){
return a%mod;
}
ll ret=qpow(a,p>>1);
ret=(ret*ret)%mod;
if(p&1) ret=(ret*a)%mod;
return ret;
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=n;++j){
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=n;++j){
scanf("%d",&b[i][j]);
}
}
int ans=0;
for(int k=1;k<=n;++k){
memset(m,0,sizeof m);
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=n;++j){
m[i][j]^=a[i][j];
}
if(b[i][k]){
m[i][i]^=1;
}
}
int c,r;
for(c=1,r=1;c<=n;++c){
int t=r;
for(int i=r;i<=n;++i){
if(m[i][c]){
t=i;
break;
}
}
if(m[t][c]==0) continue;
if(t!=r){
for(int i=c;i<=n;++i){
swap(m[t][i],m[r][i]);
}
}
for(int i=r+1;i<=n;++i){
if(m[i][c]!=0){
int d=m[i][c];
for(int j=n;j>=c;--j){
m[i][j]=(m[i][j]-m[r][j]*d+4)%2;
}
}
}
++r;
}
ans+=n-r+1;
}
printf("%lld",qpow(2,ans));
return 0;
}
\(mod 2\)等价于异或，所以可以用bitset优化一个64的常数。
矩阵树定理
本章节的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，转自OIWIKI
Kirchhoff 矩阵树定理（简称矩阵树定理）解决了一张图的生成树个数计数问题。
本篇记号声明
本篇中的图，无论无向还是有向，都允许重边，但是不允许自环。
无向图情况
设 \(G\) 是一个有 \(n\) 个顶点的无向图。定义度数矩阵 \(D(G)\) 为：
设 \(\#e(i,j)\) 为点 \(i\) 与点 \(j\) 相连的边数，并定义邻接矩阵 \(A\) 为：
定义 Laplace 矩阵（亦称 Kirchhoff 矩阵）\(L\) 为：
记图 \(G\) 的所有生成树个数为 \(t(G)\)。
有向图情况
设 \(G\) 是一个有 \(n\) 个顶点的有向图。定义出度矩阵 \(D^{out}(G)\) 为：
类似地定义入度矩阵 \(D^{in}(G)\)
设 \(\#e(i,j)\) 为点 \(i\) 指向点 \(j\) 的有向边数，并定义邻接矩阵 \(A\) 为：
定义出度 Laplace 矩阵 \(L^{out}\) 为：
定义入度 Laplace 矩阵 \(L^{in}\) 为：
记图 \(G\) 的以 \(r\) 为根的所有根向树形图个数为 \(t^{root}(G,r)\)。所谓根向树形图，是说这张图的基图是一棵树，所有的边全部指向父亲。
记图 \(G\) 的以 \(r\) 为根的所有叶向树形图个数为 \(t^{leaf}(G,r)\)。所谓叶向树形图，是说这张图的基图是一棵树，所有的边全部指向儿子。
定理叙述
矩阵树定理具有多种形式。其中用得较多的是定理 1、定理 3 与定理 4。
定理 1（矩阵树定理，无向图行列式形式） 对于任意的 \(i\)，都有
其中记号 \(L(G)\binom{1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n}\) 表示矩阵 \(L(G)\) 的第 \(1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n\) 行与第 \(1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n\) 列构成的子矩阵(原矩阵去掉第\(i\)行同时去掉第\(i\)列（\(1\leq i\leq n\)），即矩阵的主子式)。也就是说，无向图的 Laplace 矩阵具有这样的性质，它的所有 \(n-1\) 阶主子式都相等。
定理 2（矩阵树定理，无向图特征值形式） 设 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{n-1}\) 为 \(L(G)\) 的 \(n - 1\) 个非零特征值，那么有
\(t(G) = \frac{1}{n}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_{n-1}\)
定理 3（矩阵树定理，有向图根向形式） 对于任意的 \(k\)，都有
因此如果要统计一张图所有的根向树形图，只要枚举所有的根 \(k\) 并对 \(t^{root}(G,k)\) 求和即可。
定理 4（矩阵树定理，有向图叶向形式） 对于任意的 \(k\)，都有
因此如果要统计一张图所有的叶向树形图，只要枚举所有的根 \(k\) 并对 \(t^{leaf}(G,k)\) 求和即可。
「HEOI2015」小 Z 的房间
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;
char mp[N][N];
int n,m;
typedef long long ll;
ll L[N][N];
int id[N][N],cnt;
const ll mod=1e9;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%s",mp[i]+1);
}
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=m;++j){
if(mp[i][j]=='.'){
id[i][j]=++cnt;
if(mp[i-1][j]=='.'){
L[id[i][j]][id[i-1][j]]--;
L[id[i-1][j]][id[i][j]]--;
L[id[i][j]][id[i][j]]++;
L[id[i-1][j]][id[i-1][j]]++;
}
if(mp[i][j-1]=='.'){
L[id[i][j]][id[i][j-1]]--;
L[id[i][j-1]][id[i][j]]--;
L[id[i][j]][id[i][j]]++;
L[id[i][j-1]][id[i][j-1]]++;
}
}
}
}
int r=cnt-1;
for(int i=1;i<=r;++i){
for(int j=1;j<=r;++j){
L[i][j]=(L[i][j]+mod)%mod;
}
}
ll ans=1;
for(int i=1;i<=r;++i){
for(int j=i+1;j<=r;++j){
while(L[j][i]){
ll t=L[i][i]/L[j][i];
for(int k=i;k<=r;++k){
L[i][k]=(L[i][k]-t*L[j][k]%mod+mod)%mod;
swap(L[i][k],L[j][k]);
}
ans*=-1;
}
}
ans=ans*L[i][i]%mod;
}
printf("%lld",(ans+mod)%mod);
return 0;
}
注意处理整数时，写法的不同。
Luogu P2144 [FJOI2007]轮状病毒
需要高精度
n=int(input())
n=n+1
a=[[0 for i in range(n+2)]for j in range(n+2)]
a[1][1]=n-1
a[2][n]=-1
a[n][2]=-1
for i in range(2,n+1):
a[i][1]=-1
a[1][i]=-1
a[i][i]=3
if i+1<=n :
a[i][i+1]=-1
a[i+1][i]=-1
ans=1
for i in range(1,n):
for j in range(i+1,n):
while a[j][i]!=0:
t=a[i][i]//a[j][i]
for k in range(i,n):
a[i][k]-=t*a[j][k]
a[i][k],a[j][k]=a[j][k],a[i][k]
ans=-ans
ans*=a[i][i]
print(ans)
