介质中麦克斯韦方程组与场量的边界条件
介质中的麦克斯韦方程组就已经可以完全写出来了:
以及,它也就是微观状态的欧姆定律。
我们注意到,麦克斯韦方程组有两种形式,一个是微分形式,一个是积分形式。
其中微分形式,只适用于电荷电流连续分布的区域,但实际问题上会遇到在介质分界面的情况,在分界面上,介质的电磁参数(介电常数、磁导率、电导率等)会发生突变,电荷电流分布在空间上一般也不连续,就会导致E、B、D、H在边界处突变,致使它们的微商不存在,微分形式的方程组就失去了意义,于是在边界处,我们需要不涉及场量微商的积分形式的方程组来得到边界条件。
介质中麦克斯韦方程组有四个方程,分别描述了D、E、B、H四个量,我们就可以通过这四个积分方程来得到D、E、B、H的边界条件。
积分方程有曲面积分和曲线积分,我们先看曲面积分的两个方程:
在介质分界面上,我们选取无限小的圆柱体,如下图
我们应用曲面积分的方程:
因为圆柱体无限小,所以在这个圆柱体内的一切物理量可以认为是均匀的,于是就可以将积分写为
如果界面上有面电荷分布,则由面电荷定义
可知可以忽略,于是得到
如果分界面没有面电荷,则
这意味着,在介质分界面上没有面电荷时,电位移矢量沿分界面法向分量连续。
同样对于,能得到
,磁感应强度沿分界面法向分量在任意情况下都是连续的。
我们再看另外两个曲线积分,
在分界面上取任意无限小闭合曲线
按照类似的方式,将积分简化:
面电流,h无限小时
和
可以忽略不计,S=hl,于是就得到
由混合积的轮换对称性的性质,可得
当面电流为零时,,这意味着磁场强度在介质分界面上沿切线方向分量连续。
以及可写为
忽略无限小项后得到
即电场强度在介质分界面上沿切向方向分量恒连续。
至此,我们得到了关于四个量D、E、B、H四边界条件:
场强方向不代表电磁场的传播方向,这样画图只是为了方便观看电磁场在穿过界面时的变化,能直观的看出电场与磁场在分界面处的衔接情况。
我们之前计算过,磁场和电场都是保守场,它们都有对应的势,电势、磁矢势、磁标势,势在分界面上是连续的,所以我们是可以将麦克斯韦方程组写为关于势的方程:
相应的场量边界条件也会使用势边界条件代替,而有了这些边界条件,就可以定量计算电磁波的传播了。
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作者:楚千羽
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