介质中麦克斯韦方程组与场量的边界条件

介质中的麦克斯韦方程组就已经可以完全写出来了：

以及，它也就是微观状态的欧姆定律。
我们注意到，麦克斯韦方程组有两种形式，一个是微分形式，一个是积分形式。

其中微分形式，只适用于电荷电流连续分布的区域，但实际问题上会遇到在介质分界面的情况，在分界面上，介质的电磁参数（介电常数、磁导率、电导率等）会发生突变，电荷电流分布在空间上一般也不连续，就会导致E、B、D、H在边界处突变，致使它们的微商不存在，微分形式的方程组就失去了意义，于是在边界处，我们需要不涉及场量微商的积分形式的方程组来得到边界条件。

介质中麦克斯韦方程组有四个方程，分别描述了D、E、B、H四个量，我们就可以通过这四个积分方程来得到D、E、B、H的边界条件。

积分方程有曲面积分和曲线积分，我们先看曲面积分的两个方程：

在介质分界面上，我们选取无限小的圆柱体，如下图

我们应用曲面积分的方程：

因为圆柱体无限小，所以在这个圆柱体内的一切物理量可以认为是均匀的，于是就可以将积分写为

如果界面上有面电荷分布，则由面电荷定义

可知可以忽略，于是得到

如果分界面没有面电荷，则
这意味着，在介质分界面上没有面电荷时，电位移矢量沿分界面法向分量连续。
同样对于，能得到，磁感应强度沿分界面法向分量在任意情况下都是连续的。

我们再看另外两个曲线积分，

在分界面上取任意无限小闭合曲线

按照类似的方式，将积分简化：

面电流，h无限小时和可以忽略不计，S=hl，于是就得到

由混合积的轮换对称性的性质，可得

当面电流为零时，，这意味着磁场强度在介质分界面上沿切线方向分量连续。
以及可写为

忽略无限小项后得到

即电场强度在介质分界面上沿切向方向分量恒连续。

至此，我们得到了关于四个量D、E、B、H四边界条件：

场强方向不代表电磁场的传播方向，这样画图只是为了方便观看电磁场在穿过界面时的变化，能直观的看出电场与磁场在分界面处的衔接情况。
我们之前计算过，磁场和电场都是保守场，它们都有对应的势，电势、磁矢势、磁标势，势在分界面上是连续的，所以我们是可以将麦克斯韦方程组写为关于势的方程：

相应的场量边界条件也会使用势边界条件代替，而有了这些边界条件，就可以定量计算电磁波的传播了。
转自：https://mp.weixin.qq.com/s/jpcT_Hw2DDslnXE0h7FPHg