USACO3.2题目简析

chunlvxiong的博客

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T1：Factorials

　　题意：输出N!最后非零位(1≤N≤4220)。

　　首先你可以很快算出N!的末尾0的个数(即1到N的5的因子个数，记这个数为x)。然后你可以理解为求N!/(2^x)/(5^x) % 10的值。

　　这样你就可以以O(N)的时间复杂度计算出这个值。

T2：Stringsobits

　　题意：求出第i个长度为N(1≤N≤31)且这个二进制数中1的个数小于等于L(L<=N)的数（允许前导0）。

　　用dp[i][j]表示长度为i，1的个数≤j的数的个数，则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]（放1）+dp[i-1][j]（放0）。初始：dp[0][i]=1

　　输出部分操作如下，从高位到低位操作，假设当前位数为x，还能放y个1，还需K个长度为N的且二进制数中1的个数小于等于L的数：

　　如果dp[x-1][y]>=K，那么说明这一位应该放0，然后继续操作x-1位。

　　如果dp[x-1][y]<K，那么说明这一位应该放1，然后K-=dp[x-1][y]，然后y--（能放1的个数减少）。

　　这样逐位确定即可。注意K的最大值为2^32会超过int。时间复杂度O(N*L)。

T3：Spinning Wheels

　　题意：有5个水车，水车的角度为0..359，每个水车有一个速度，也有几个缺口。问最少多少s时，有一个角度所有水车都是缺口。若不存在这样的时刻，输出none。

　　首先答案肯定是＜360的，因为第360时刻与第0时刻的结果是一样的。

　　那么你考虑如何验证一个时刻是否有一个角度所有水车是缺口，可以开一个标记数组进行统计，对于该时刻若某个角度当前水车是缺口，那么++，最后如果标技数组中有一个角度的值为5，说明该时刻有一个角度所有水车是缺口。

　　这样做的时间复杂度是O(360^2)的，可以A掉此题。注意不要忘记0时刻也是可能的情况。

T4：Feed Ratios

　　题意：有三种不同的混合饲料（每种配法都包含3种饲料），以及目标饲料，求如何将多少包这三种混合饲料混合可以得到多少包目标饲料。(每种混合饲料和目标饲料中3种饲料的数量均为＜100的非负整数，同时保证每种混合饲料最多用100包)

　　爆搜即可，时间复杂度O(100^3)。注意0的情况。

T5：Magic Squares

　　题意：给出一个魔板，初始状态为1 2 3 4，记为{1,2,3,4,5,6,7,8}。有三种操作：“A”：交换上下两行；“B”：将最右边的一列插入最左边；“C”：魔板中央四格                                                                       8 7 6 5

　　给定一个目标状态，求初始状态到目标状态最少所需操作数以及相应的操作步骤（字典序最小）。

　　很容易想到广搜，总的状态数为8!种，并不多，因此广搜是可行的。关键问题在于如何判重。如果开一个8^8的标记数组，会MLE（得益于USACO的16M内存）。

　　判重实际上就是算一个序列是第几个全排列，以6 5 8 4 3 7 2 1为例进行分析：

　　第一个位置先前可以放1~5，所以先前已经有5*7!个全排列了。

　　第二个位置先前可以放1~4，所以先前已经有4*6!个全排列了。

　　第三个位置先前可以放1、2、3、4、7，所以先前已经有5*8!个全排列了。

　　……

　　所以判重计算方法为Σ(8-i)!*(a[i]-1-先前比a[i]小的数的个数)。--注：这里计算这个复杂度是O(8^2)的，不是很理想，可以利用线段树优化到O(8log8)，但是还是不写的好。

　　另类判重方法：map判重，hash判重（找一个比8!大的素数）。

T5：Sweet Butter

　　题意：有N头奶牛(1≤N≤500)，P个牧场(1≤P≤800)，C条双向道路(1≤C≤1450)。给出每头奶牛所在的牧场编号，求出令所有奶牛聚到同一个牧场所有奶牛所走的距离总和的最小值。

　　由于是稀疏图，所以暴力穷举每个牧场作为集合牧场，然后跑spfa（或者堆优化的dijkstra）一遍，再计算出奶牛所走的距离总和，更新最小值即可。