USACO3.1题目简析

chunlvxiong的博客

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T1：Agri-Net

　　题意：给出N个牧场(1≤N≤100)以及它们两两之间连接的代价，求出将所有牧场连接在一起的最小代价。

　　裸的最小生成树问题。由于边比较多，使用prim算法。时间复杂度O(N^2)。

T2：Score Inflation

　　题意：有N个问题(1≤N≤10000)，总时间为M(1≤M≤10000)，每个问题有一个解决时间和分数。输出能够获得的最大分数，一个问题可以被解决多次。

　　经典完全背包问题，其中的思想很好。

　　正常的DP方程：dp[i][j]=max{dp[i-1][j-k*time[i]]+k*score[i]}。这样的时间复杂度是O(NM^2)的。

　　你允许同维的继承，同时先转移小的，后转移大的，方程变为：dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i][j-time[i]]+score[j]}。

　　然后你发现实际上这个方程完全可以压成一维。

　　这样做时间复杂度O(NM)，空间复杂度O(M)，在USACO评测机上跑得飞快。

T3：Humble Numbers

　　题意：给定K个素数(1≤K≤100)，求由这K个素数相乘可以得到的第N(1≤N≤100000)小的数，答案保证≤2^31-1。

　　经典思路：堆

　　这个思路很好理解，首先把K个数全部压进堆中，然后取出堆顶元素X以及X出堆，对于与X相同的，一起出堆，然后把X*prime[1]，X*prime[2]，……X*prime[K]全部入堆，一直操作下去。时间复杂度O(Nlog?)

　　问题在于这个?很大，最大可以达到10000000(NK)，时间仍然足够，但是USACO的16M内存是过不去的。

　　考虑下堆的优化：我们尽量避免重复元素的入堆。

　　因为有例如prime[2]*prime[1]*prime[2]=prime[1]*prime[1]*prime[2]这样的情况，所以你强制顺序：即对于已经乘有prime[X]的数，它不能再乘prime[1]……prime[X-1]了，它只能乘prime[X]……prime[K]。这样可以避免任何重复元素入堆。

　　然而问题是……好像堆的大小还是要开得很大，还是A不掉。

　　下面给出USACO的ANALYSIS：　

　　我们将1视为一个丑数。

　　当我们有第k个丑数，并想要计算第k+1个丑数时，我们做如下操作：

　　对于每个素数p，找到最小丑数h，使得h*p大于第k个丑数，然后取最小的h*p作为第k+1个丑数。

　　这样时间复杂度为O(NK)，而空间复杂度仅为O(N)，就可以顺利A掉此题。

T4：Contact

　　题意：给出一个字符串(长度≤200000)，输出N个出现次数最多的序列（长度为a~b(1≤a≤b≤12)之间，先输出出现次数多的）。如果出现次数相同，先输出长度小的。如果长度相同，按二进制大小排列。如果出现的序列个数小于N，输出存在的序列。

　　由于a,b均≤12，所以可能的字符串种类并不多。为了区分0,00这样的序列，对于一个序列，不仅要存其相应的十进制数，还要保存长度。这样种类数为2^12*12=49512种。

　　然后你就对于每个位置向后a到b的位置进行统计，并开个数组存放结果。最后将这个数组排个序，按序输出即可。时间复杂度O(200000*12)。

T5：Stamps

　　题意：有N种邮票(1≤N≤50，每种邮票面值不超过10000)，最多贴K张(1≤K≤200)，问能贴出的连续的最大面值是多少。

　　考虑用dp[i]表示面值为i最少要贴几张邮票，如果贴不出来用oo表示。

　　用a[i]表示第i种邮票面值，则：dp[i]=min{dp[i-a[j]]+1|1≤j≤N，且i>=a[j]}

　　如果发现一个dp[i]>k，那么说明答案为i-1。

　　答案上限为K*10000=2e6，所以总时间复杂度为O(2e6*N)=O(1e8)。

　　看上去要T，实际运行效率远不到这个上限，所以可以A掉此题。